Dado o par de transformada \cos (2 t) u(t) \Longleftrightarrow X(s), determine os sinais de tempo contínuo correspondentes às seguintes transformadas de Laplace:
(d) s^{-2} X(s)

Passo 1

O enunciado dá o par de transformada \cos(2t)\,u(t) \Longleftrightarrow X(s) e pede, especificamente, para encontrar o sinal no tempo contínuo cuja transformada de Laplace é s^{-2} X(s).\n
Informações relevantes fornecidas:
  • O sinal de tempo original é \cos(2t)\,u(t).
  • A transformada correspondente é chamada de X(s).
  • Queremos a transformada inversa de s^{-2} X(s).

Passo 2

Primeiro precisamos escrever explicitamente X(s). Use a fórmula padrão da transformada de Laplace para o cosseno. A fórmula conhecida é:
\mathcal{L}\{\cos(\omega t)u(t)\}=\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}},\qquad \text{para a parte real de }s\text{ adequada.}
Aplicando com \omega=2 obtemos
X(s)=\mathcal{L}\{\cos(2t)u(t)\}=\frac{s}{s^{2}+4}.

Passo 3

Agora pense na operação de dividir por s no domínio de Laplace. Uma propriedade importante é:
\mathcal{L}\left\{\int_{0}^{t} f(\tau)\,d\tau\right\}=\frac{F(s)}{s},
onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}. Explicando por que: a função unit step u(t) tem \mathcal{L}\{u(t)\}=1/s, e a convolução no tempo vira produto no s-domínio. Como f*u(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,d\tau, temos \mathcal{L}\{f*u\}=F(s)\cdot(1/s)=F(s)/s. Assim, dividir por s corresponde a integrar causalmente (a partir de 0) o sinal no tempo.

Passo 4

Com isso, dividir por s^{2} corresponde a aplicar duas integrações sucessivas no tempo. Em outras palavras, se f(t)=\cos(2t)u(t) então a função cujo Laplace é s^{-2}X(s)=\dfrac{X(s)}{s^{2}} é
y(t)=\int_{0}^{t}\left(\int_{0}^{\tau} f(\sigma)\,d\sigma\right)d\tau.
Ou seja, primeiro integrarmos f de 0 até \tau, depois integramos esse resultado de 0 até t.

Passo 5

Calcule a primeira integral. Com f(t)=\cos(2t) temos
A(t)=\int_{0}^{t}\cos(2\tau)\,d\tau.
Fazendo a primitiva,
\int \cos(2\tau)\,d\tau=\frac{1}{2}\sin(2\tau),
portanto, avaliando de 0 a t,
A(t)=\frac{1}{2}\sin(2t)-\frac{1}{2}\sin(0)=\frac{1}{2}\sin(2t).
Observe que para t<0 a função é zero (causalidade), então devemos considerar o multiplicador u(t), mas vamos manter isso implícito até a expressão final.

Passo 6

Agora calcule a segunda integral:
y(t)=\int_{0}^{t} A(\tau)\,d\tau=\int_{0}^{t}\frac{1}{2}\sin(2\tau)\,d\tau.
A primitiva de \sin(2\tau) é -\tfrac{1}{2}\cos(2\tau). Assim,
y(t)=\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}\cos(2\tau)\right]_{0}^{t}=-\frac{1}{4}\bigl(\cos(2t)-\cos(0)\bigr).
Como \cos(0)=1, isso fica
y(t)=-\frac{1}{4}\bigl(\cos(2t)-1\bigr)=\frac{1}{4}\bigl(1-\cos(2t)\bigr).

Passo 7

Restabelecendo a causalidade explícita (o sinal é nulo para t<0), o sinal no tempo correspondente a s^{-2}X(s) é y(t) multiplicado por u(t). Concluímos então a forma temporal do sinal pedido.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}\bigl(1-\cos(2t)\bigr)\,u(t)

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