Dado o par de transformada
, determine os sinais de tempo contínuo correspondentes às seguintes transformadas de Laplace:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado dá o par de transformada
e pede, especificamente, para encontrar o sinal no tempo contínuo cuja transformada de Laplace é
.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- O sinal de tempo original é
. - A transformada correspondente é chamada de
. - Queremos a transformada inversa de
.
Passo 2
Primeiro precisamos escrever explicitamente
. Use a fórmula padrão da transformada de Laplace para o cosseno. A fórmula conhecida é:
Aplicando com
obtemos
Passo 3
Agora pense na operação de dividir por
no domínio de Laplace. Uma propriedade importante é:
onde
. Explicando por que: a função unit step
tem
, e a convolução no tempo vira produto no
-domínio. Como
, temos
. Assim, dividir por
corresponde a integrar causalmente (a partir de
) o sinal no tempo.
Passo 4
Com isso, dividir por
corresponde a aplicar duas integrações sucessivas no tempo. Em outras palavras, se
então a função cujo Laplace é
é
Ou seja, primeiro integrarmos
de
até
, depois integramos esse resultado de
até
.
Passo 5
Calcule a primeira integral. Com
temos
Fazendo a primitiva,
portanto, avaliando de
a
,
Observe que para
a função é zero (causalidade), então devemos considerar o multiplicador
, mas vamos manter isso implícito até a expressão final.
Passo 6
Agora calcule a segunda integral:
A primitiva de
é
. Assim,
Como
, isso fica
Passo 7
Restabelecendo a causalidade explícita (o sinal é nulo para
), o sinal no tempo correspondente a
é
multiplicado por
. Concluímos então a forma temporal do sinal pedido.