a) Determine a função de transferência e verifique se sistema é estável. Justifique sua resposta.
b) Determine o valor em regime permanente da saída y(t) quando a entrada é x(t)=10 u(t).
c) Determine a resposta y(t) do sistema se a entrada x(t) for igual à x(t)=e^{-3 t} u(t). Considere que as condiçōes iniciais são nulas.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial do sistema causal e pede três coisas:
a) Determinar a função de transferência e verificar se o sistema é estável (justificando).
b) Determinar o valor em regime permanente de y(t) quando x(t)=10\,u(t).
c) Determinar a resposta y(t) quando x(t)=e^{-3t}u(t), com condições iniciais nulas.
Condição extra para (c): condições iniciais nulas (ou seja, todas as condições iniciais = 0). Os sinais de entrada para (b) e (c) são x(t)=10\,u(t) e x(t)=e^{-3t}u(t), respectivamente.
Passo 2
Vamos obter a função de transferência H(s)=\dfrac{Y(s)}{X(s)} pela transformada de Laplace assumindo condições iniciais nulas. Aplico Laplace na equação dada; lembrando que \mathcal{L}\{\dot y(t)\}=sY(s) e \mathcal{L}\{\ddot y(t)\}=s^{2}Y(s) quando as condições iniciais são zero. Assim:
Agora verifico estabilidade. Primeiro encontro os polos: resolvo s^{2}+10s+34=0. O discriminante é
\Delta=10^{2}-4\cdot1\cdot34=100-136=-36.
As raízes são
s=\frac{-10\pm j\sqrt{36}}{2}=-5\pm j3.
Ambos os polos têm parte real -5 (negativa). Para um sistema LTI causal e com H(s) racional e próprio (grau do numerador =1 menor que grau do denominador =2), a condição de estabilidade BIBO é que todos os polos tenham parte real negativa. Como isso ocorre, o sistema é estável. (Obs.: isso também garante que podemos usar, por exemplo, o Teorema do Valor Final quando necessário.)
Passo 4
Parte (b): encontrar o valor em regime permanente para x(t)=10\,u(t).
Primeiro escrevo a transformada de Laplace da entrada:
X(s)=\frac{10}{s}.
A saída em s é Y(s)=H(s)X(s)=\dfrac{s+34}{s^{2}+10s+34}\cdot\dfrac{10}{s}.
Uso o Teorema do Valor Final para obter \lim_{t\to\infty}y(t)=\lim_{s\to0}sY(s), verificando que as condições do teorema valem: sY(s)=10H(s) tem apenas os polos de H(s), que estão no semiplano esquerdo, logo o limite existe. Então
(E claro, y(t)=0 para t<0 por causalidade; podemos também escrever u(t) multiplicando, se preferir.)
Resposta
a) \displaystyle H(s)=\frac{s+34}{s^{2}+10s+34}. O denominador tem polos em \displaystyle s=-5\pm j3 (parte real negativa), logo o sistema é estável (polos no semiplano esquerdo).\n
b) Valor em regime permanente: \displaystyle 10.\n
c) \displaystyle y(t)=\frac{31}{13}e^{-3t}-\frac{31}{13}e^{-5t}\cos(3t)-\frac{49}{39}e^{-5t}\sin(3t),\quad t\ge0.