Questão 3.1 Considere um sistema com uma única coordenada generalizada
e uma função Lagrangiana
, onde
é a massa e
é o potencial. Determine as equações de Euler-Lagrange para este sistema.
Passo 1
O enunciado dá um sistema com uma única coordenada generalizada
e a função Lagrangiana
onde
é a massa (constante) e
é o potencial (função de
). O que se pede: determinar as equações de Euler–Lagrange para esse sistema, ou seja, achar a equação de movimento que
deve satisfazer. Informações relevantes listadas:
- variável desconhecida temporal:
; - velocidade generalizada:
; - aceleração:
; - Lagrangiana dada acima, dependente de
e .
Passo 2
A fórmula geral das equações de Euler–Lagrange (que vamos aplicar tal como está) é
Explicando devagar:
significa derivar
tratando
como constante e diferenciando em relação a
. Depois aplicamos a derivada temporal total
ao resultado (porque
e possivelmente
dependem do tempo). Em seguida subtrai-se
(derivada parcial de
em relação a
, tratando
como constante) e iguala-se a zero.
Passo 3
Calculemos primeiro
. Como
o termo
não depende de
, então sua derivada parcial em relação a
é zero. Para o termo cinético usamos a regra da potência: a derivada de
em relação a
é
, e o fator
cancela o
. Logo
Passo 4
Agora aplicamos a derivada temporal total:
Como
é constante, sai da derivada, ficando
Aqui usamos que
.
Passo 5
Calculemos
. O termo cinético
não depende de
(quando
constante), então sua derivada parcial em relação a
é zero. O termo
dá
onde
é a derivada ordinária do potencial em relação a
.
Passo 6
Substituindo na equação de Euler–Lagrange:
fica
Simplificando,
ou, de forma equivalente,
Interpretação rápida:
é a força generalizada associada ao potencial
, e a equação acima é a versão de
.
Passo 7
Exemplo concreto para fixar a ideia: para o oscilador harmônico com
temos
. Substituindo na equação resulta
que é a equação clássica do oscilador harmônico, cuja solução típica é
com
.