Questão 3.1 Considere um sistema com uma única coordenada generalizada q e uma função Lagrangiana L(q, \dot{q})=\frac{1}{2} m \dot{q}^{2}-V(q), onde m é a massa e V(q) é o potencial. Determine as equações de Euler-Lagrange para este sistema.

Passo 1

O enunciado dá um sistema com uma única coordenada generalizada q e a função Lagrangiana
L(q,\dot{q})=\frac{1}{2}m\dot{q}^{2}-V(q),
onde m é a massa (constante) e V(q) é o potencial (função de q). O que se pede: determinar as equações de Euler–Lagrange para esse sistema, ou seja, achar a equação de movimento que q(t) deve satisfazer. Informações relevantes listadas:
  • variável desconhecida temporal: q(t);
  • velocidade generalizada: \dot{q}(t)=\dfrac{dq}{dt};
  • aceleração: \ddot{q}(t)=\dfrac{d^{2}q}{dt^{2}};
  • Lagrangiana dada acima, dependente de q e \dot{q}.

Passo 2

A fórmula geral das equações de Euler–Lagrange (que vamos aplicar tal como está) é
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q}=0.
Explicando devagar: \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} significa derivar L tratando q como constante e diferenciando em relação a \dot{q}. Depois aplicamos a derivada temporal total \dfrac{d}{dt} ao resultado (porque \dot{q} e possivelmente q dependem do tempo). Em seguida subtrai-se \dfrac{\partial L}{\partial q} (derivada parcial de L em relação a q, tratando \dot{q} como constante) e iguala-se a zero.

Passo 3

Calculemos primeiro \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}}. Como
L(q,\dot{q})=\frac{1}{2}m\dot{q}^{2}-V(q),
o termo -V(q) não depende de \dot{q}, então sua derivada parcial em relação a \dot{q} é zero. Para o termo cinético usamos a regra da potência: a derivada de \dot{q}^{2} em relação a \dot{q} é 2\dot{q}, e o fator 1/2 cancela o 2. Logo
\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = m\dot{q}.

Passo 4

Agora aplicamos a derivada temporal total:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)=\frac{d}{dt}(m\dot{q}).
Como m é constante, sai da derivada, ficando
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)=m\ddot{q}.
Aqui usamos que \dfrac{d}{dt}\dot{q}=\ddot{q}.

Passo 5

Calculemos \dfrac{\partial L}{\partial q}. O termo cinético \tfrac{1}{2}m\dot{q}^{2} não depende de q (quando m constante), então sua derivada parcial em relação a q é zero. O termo -V(q)
\frac{\partial L}{\partial q} = -\frac{dV}{dq} \equiv -V'(q),
onde V'(q) é a derivada ordinária do potencial em relação a q.

Passo 6

Substituindo na equação de Euler–Lagrange:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q}=0
fica
m\ddot{q}-\big(-V'(q)\big)=0.
Simplificando,
m\ddot{q}+V'(q)=0,
ou, de forma equivalente,
m\ddot{q}=-V'(q).
Interpretação rápida: -V'(q) é a força generalizada associada ao potencial V, e a equação acima é a versão de m a = \text{força}ç.

Passo 7

Exemplo concreto para fixar a ideia: para o oscilador harmônico com V(q)=\tfrac{1}{2}kq^{2} temos V'(q)=kq. Substituindo na equação resulta
m\ddot{q}+kq=0,
que é a equação clássica do oscilador harmônico, cuja solução típica é q(t)=A\cos(\omega t+\varphi) com \omega=\sqrt{k/m}.

Resposta

m\ddot{q}+V'(q)=0
m\ddot{q}=-V'(q)

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