A hélice de um motor possui momento de inércia
Sua velocidade angular varia no tempo segundo a função:
Calcule:
(a) O momento angular
da hélice.
(b) O valor de
no instante
.
(c) O torque resultante
que atua sobre a hélice.
(d) O valor de
no instante
.
(a) O momento angular
(b) O valor de
(c) O torque resultante
(d) O valor de
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede quatro coisas claras:
Perguntas do enunciado:
(a) Determinar o momento angular da hélice (função do tempo).
(b) Calcular o valor de no instante
.
(c) Determinar o torque resultante que atua sobre a hélice (função do tempo).
(d) Calcular o valor de no instante
.
(a) Determinar o momento angular
(b) Calcular o valor de
(c) Determinar o torque resultante
(d) Calcular o valor de
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado devagar): o momento angular de um corpo rígido que gira em torno de um eixo fixo é dado por uma relação muito simples quando o momento de inércia
é constante em relação ao tempo. A fórmula é
onde:
-
é o momento angular (unidade SI: ), -
é o momento de inércia (unidade SI: ), -
é a velocidade angular (unidade SI: ).
Aquié constante e é função de , então será função de .
Passo 3
Aplicando a fórmula
ao dado do problema: primeiro substituímos os valores fornecidos.
Agora fazemos a multiplicação termo a termo. Multiplicando
por
dá
. Multiplicando
por
dá
. Portanto:
(Observe as contas:
e
.)
Passo 4
Agora calculamos
no instante
. Substituímos
na expressão obtida:
Calcule passo a passo:
. Em seguida,
e
. Somando:
Passo 5
Agora o torque. Conceito importante: o torque resultante sobre um corpo é igual à taxa de variação temporal do momento angular:
Outra forma equivalente (quando
é constante) é usar o fato de que
, onde
é a aceleração angular
. Vou mostrar as duas formas para você ver que dá o mesmo resultado.
Passo 6
Primeira via: derivando
que já encontramos. Temos
Derivando termo a termo:
Logo
(Observação de unidades:
.)
Passo 7
Segunda via (verificação): calculemos
. Dado
, derivando temos
Multiplicando por
:
que coincide com a derivada de
— ótimo, está consistente.
Passo 8
Finalmente, calculamos
no instante
. Substituindo na expressão:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)