A hélice de um motor possui momento de inércia
I=1,80 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{2} .
Sua velocidade angular varia no tempo segundo a função:
\omega(t)=10 t+5 t^{2}[\mathrm{rad} / \mathrm{s}] .
Calcule:
(a) O momento angular L(t) da hélice.
(b) O valor de L no instante t=2,00 \mathrm{~s}.
(c) O torque resultante \tau(t) que atua sobre a hélice.
(d) O valor de \tau no instante t=2,00 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede quatro coisas claras:
I=1,80\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}
\omega(t)=10\,t+5\,t^{2}\\ [\mathrm{rad/s}]
Perguntas do enunciado:
(a) Determinar o momento angular L(t) da hélice (função do tempo).
(b) Calcular o valor de L no instante t=2,00\\ \mathrm{s}.
(c) Determinar o torque resultante \tau(t) que atua sobre a hélice (função do tempo).
(d) Calcular o valor de \tau no instante t=2,00\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado devagar): o momento angular de um corpo rígido que gira em torno de um eixo fixo é dado por uma relação muito simples quando o momento de inércia I é constante em relação ao tempo. A fórmula é
L=I\,\omega,
onde:
  • L é o momento angular (unidade SI: \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}),
  • I é o momento de inércia (unidade SI: \mathrm{kg\cdot m^{2}}),
  • \omega é a velocidade angular (unidade SI: \mathrm{rad/s}).
    Aqui I é constante e \omega é função de t, então L será função de t.

Passo 3

Aplicando a fórmula L=I\omega ao dado do problema: primeiro substituímos os valores fornecidos.
L(t)=I\cdot\omega(t)
L(t)=1,80\cdot\bigl(10\,t+5\,t^{2}\bigr)
Agora fazemos a multiplicação termo a termo. Multiplicando 1,80 por 10\,t 18\,t. Multiplicando 1,80 por 5\,t^{2} 9\,t^{2}. Portanto:
L(t)=18\,t+9\,t^{2}\quad\bigl[\mathrm{kg\cdot m^{2}/s}\bigr]
(Observe as contas: 1,80\times 10=18 e 1,80\times 5=9.)

Passo 4

Agora calculamos L no instante t=2,00\\ \mathrm{s}. Substituímos t=2,00 na expressão obtida:
L(2,00)=18\cdot 2,00+9\cdot(2,00)^{2}
Calcule passo a passo: 18\cdot 2,00=36. Em seguida, (2,00)^{2}=4,00 e 9\cdot 4,00=36. Somando:
L(2,00)=36+36=72\quad[\mathrm{kg\cdot m^{2}/s}]

Passo 5

Agora o torque. Conceito importante: o torque resultante sobre um corpo é igual à taxa de variação temporal do momento angular:
\tau=\frac{dL}{dt}.
Outra forma equivalente (quando I é constante) é usar o fato de que \tau=I\,\alpha, onde \alpha é a aceleração angular \alpha=d\omega/dt. Vou mostrar as duas formas para você ver que dá o mesmo resultado.

Passo 6

Primeira via: derivando L(t) que já encontramos. Temos
L(t)=18\,t+9\,t^{2}.
Derivando termo a termo:
\frac{dL}{dt}=18+18\,t.
Logo
\tau(t)=18+18\,t\quad[\mathrm{N\cdot m}]
(Observação de unidades: \mathrm{kg\cdot m^{2}/s^{2}}=\mathrm{N\cdot m}.)

Passo 7

Segunda via (verificação): calculemos \alpha(t)=\dfrac{d\omega}{dt}. Dado \omega(t)=10\,t+5\,t^{2}, derivando temos
\alpha(t)=\frac{d\omega}{dt}=10+10\,t.
Multiplicando por I:
\tau(t)=I\,\alpha(t)=1,80\cdot(10+10\,t)=18(1+t)=18+18\,t,
que coincide com a derivada de L(t) — ótimo, está consistente.

Passo 8

Finalmente, calculamos \tau no instante t=2,00\\ \mathrm{s}. Substituindo na expressão:
\tau(2,00)=18+18\cdot 2,00=18+36=54\quad[\mathrm{N\cdot m}]

Resposta

(a) L(t)=18\,t+9\,t^{2}\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}
(b) L(2,00)=72\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}
(c) \tau(t)=18+18\,t\\ \mathrm{N\cdot m}
(d) \tau(2,00)=54\\ \mathrm{N\cdot m}

Exercícios relacionados