Questāo 3 ( 2,0 pt). (Calorimetria) Uma tigela de bronze de massa igual a 300 g armazena 200 g de água à mesma temperatura, 90{ }^{\circ} \mathrm{C}. Pedras de gelo de 10 g säo fabricadas em um máqina refrigeradora à temperatura de -10^{\circ} \mathrm{C}. Pergunta-se: (a) qual a quantidade de calor envolvida no processo de aquecimento de uma pedra de gelo a -10^{\circ} \mathrm{C} ate que ela derreta completamente, (c) quantas pedra de gelo são necessárias para resfriar o sistema tigela-água até a temperatura de 50^{\circ} \mathrm{C}. (d) Se as pedras de gelo nāo forem postas dentro da tigela, mas se a tigela for posta sobre 50 pedras de gelo, qual será a temperatura de equibrio?

Passo 1

O enunciado pede três coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pergunta:
  • Dados do sistema:
    • massa da tigela de bronze: m_{\text{tigela}} = 300\\ \text{g}
    • massa da água dentro da tigela: m_{\text{água}} = 200\\ \text{g}á
    • temperatura inicial da tigela e da água: T_i^{\text{tigela}} = T_i^{\text{água}} = 90{ }^\circ\text{C}á
    • cada pedra de gelo tem massa: m_{\text{pedra}} = 10\\ \text{g}
    • temperatura inicial das pedras: T_i^{\text{pedra}} = -10{ }^\circ\text{C}
  • Perguntas:
    • (a) Qual a quantidade de calor necessária para aquecer uma pedra de gelo de -10{ }^\circ\text{C} até que ela derreta completamente (isto é, até vir a água líquida a 0{ }^\circ\text{C})?
    • (c) Quantas pedras de gelo são necessárias para resfriar o sistema tigela+água até 50{ }^\circ\text{C}?
    • (d) Se as pedras de gelo não forem colocadas dentro da tigela, mas a tigela for posta sobre 50 pedras de gelo (cada uma a -10{ }^\circ\text{C}), qual será a temperatura de equilíbrio?
Observação de constantes físicas que vamos usar (valores típicos e padrão em calorimetria):
  • calor específico do gelo: c_{\text{gelo}} = 2{,}10\\ \text{J g}^{-1}\!{}^\circ\text{C}^{-1}
  • calor de fusão do gelo: L_f = 334\\ \text{J g}^{-1}
  • calor específico da água: c_{\text{água}} = 4{,}18\\ \text{J g}^{-1}\!{}^\circ\text{C}^{-1}á
  • calor específico do bronze (aproximação típica): c_{\text{bronze}} = 0{,}38\\ \text{J g}^{-1}\!{}^\circ\text{C}^{-1}
Vou usar conservação de energia térmica: o calor perdido pelo corpo quente = calor ganho pelos corpos frios (desprezando trocas com o ambiente).

Passo 2

Vou explicar os conceitos e fórmulas que vou usar (aquelas que você precisa entender para resolver calorimetria na prova).
  • Calor para variar a temperatura (sem mudança de fase): a fórmula é
Q = m\,c\,\Delta T,
onde Q é a quantidade de calor (em joules, J), m é a massa (em gramas, g), c é o calor específico ( \text{J g}^{-1}\!{}^\circ\text{C}^{-1}) e \Delta T é a variação de temperatura ( {}^\circ\text{C}). Ex.: para aquecer 10\\ \text{g} de gelo de -10{ }^\circ\text{C} a 0{ }^\circ\text{C}, use m=10, c=c_{\text{gelo}} e \Delta T=10.
  • Calor para mudança de fase (fusão do gelo): a fórmula é
Q = m\,L_f,
onde L_f é o calor latente de fusão (em \text{J g}^{-1}). Esse calor não muda a temperatura, apenas transforma o estado (gelo → água).
  • Conservação de energia térmica (num processo isolado):
\text{calor perdido por quentes} = \text{calor ganho por frios}.
Vamos aplicar isso somando as parcelas de calor para cada corpo envolvido.

Passo 3

Queremos o calor necessário para uma pedra de gelo ( m_{\text{pedra}}=10\\ \text{g}) ir de -10{ }^\circ\text{C} até água líquida a 0{ }^\circ\text{C}. Há duas etapas físicas:
  1. Aquecer o gelo de -10{ }^\circ\text{C} até 0{ }^\circ\text{C}.
  2. Fundir o gelo a 0{ }^\circ\text{C} (passagem sólido → líquido).
Calculemos cada parcela.
  • Aquecer o gelo (etapa 1): \Delta T = 0 - (-10) = 10{ }^\circ\text{C}.
Q_1 = m_{\text{pedra}}\,c_{\text{gelo}}\,\Delta T = 10\\ \text{g}\times 2{,}10\\ \text{J g}^{-1}\!{}^\circ\text{C}^{-1}\times 10{ }^\circ\text{C}.
Calculando:
Q_1 = 10\times 2{,}10 \times 10 = 210\\ \text{J}.
  • Fusão do gelo (etapa 2):
Q_2 = m_{\text{pedra}}\,L_f = 10\\ \text{g}\times 334\\ \text{J g}^{-1} = 3340\\ \text{J}.
  • Total:
Q_{\text{total, 1 pedra}} = Q_1 + Q_2 = 210\\ \text{J} + 3340\\ \text{J} = 3550\\ \text{J}.
Comentário prático: para uma pedra de 10\\ \text{g} a energia necessária é relativamente pequena, cerca de 3{,}55\\ \text{kJ}.

Passo 4

Agora queremos saber quantas pedras são necessárias para levar tigela+água de 90{ }^\circ\text{C} até 50{ }^\circ\text{C}. A ideia é escrever:
\text{calor perdido por tigela + água ao esfriar de }90^\circ\text{C} \text{ para }50^\circ\text{C} = \text{calor ganho por }n\text{ pedras para irem de }-10^\circ\text{C}\text{ a água a }50^\circ\text{C}.áá
Cada pedra, além de ser aquecida e fundida (como no item (a)), ainda terá que ser aquecida como água de 0{ }^\circ\text{C} até 50{ }^\circ\text{C}. Vou calcular o lado esquerdo (perda total) e o ganho por pedra; daí encontro n.

Passo 5

Fórmula:
Q_{\text{tigela}} = m_{\text{tigela}}\,c_{\text{bronze}}\,\Delta T,
com \Delta T = 90-50 = 40{ }^\circ\text{C}.
Q_{\text{tigela}} = 300\\ \text{g}\times 0{,}38\\ \text{J g}^{-1}\!{}^\circ\text{C}^{-1}\times 40{ }^\circ\text{C}.
Calculando:
Q_{\text{tigela}} = 300\times 0{,}38 \times 40 = 300\times 15{,}2 = 4560\\ \text{J}.

Passo 6

Fórmula:
Q_{\text{água}} = m_{\text{água}}\,c_{\text{água}}\,\Delta T,ááá
com \Delta T = 40{ }^\circ\text{C}.
Q_{\text{água}} = 200\\ \text{g}\times 4{,}18\\ \text{J g}^{-1}\!{}^\circ\text{C}^{-1}\times 40{ }^\circ\text{C}.á
Calculando:
Q_{\text{água}} = 200\times 4{,}18 \times 40 = 200\times 167{,}2 = 33\,440\\ \text{J}.á

Passo 7

Somando as perdas:
Q_{\text{perda total}} = Q_{\text{tigela}} + Q_{\text{água}} = 4\,560\\ \text{J} + 33\,440\\ \text{J} = 38\,000\\ \text{J}.á
Esse é o calor que as pedras de gelo, coletivamente, precisam absorver (via aquecimento do gelo, fusão e aquecimento da água resultante) para que o sistema chegue a 50{ }^\circ\text{C}.

Passo 8

Cada pedra passa por três etapas:
  1. aquecer gelo de -10 a 0{ }^\circ\text{C}: já calculado no Passo 3 como Q_1 = 210\\ \text{J}.
  2. fundir: Q_2 = 3340\\ \text{J}.
  3. aquecer a água resultante de 0 a 50{ }^\circ\text{C}:
Q_3 = m_{\text{pedra}}\,c_{\text{água}}\,\Delta T = 10\\ \text{g}\times 4{,}18\\ \text{J g}^{-1}\!{}^\circ\text{C}^{-1}\times 50{ }^\circ\text{C}.á
Calculando:
Q_3 = 10\times 4{,}18 \times 50 = 10\times 209 = 2090\\ \text{J}.
Somando:
Q_{\text{por pedra}} = Q_1 + Q_2 + Q_3 = 210 + 3340 + 2090 = 5640\\ \text{J}.

Passo 9

Temos a equação:
n \times Q_{\text{por pedra}} = Q_{\text{perda total}}.
Logo
n = \dfrac{Q_{\text{perda total}}}{Q_{\text{por pedra}}} = \dfrac{38\,000}{5\,640}\approx 6{,}73.
Como não podemos usar uma fração de pedra, precisamos de um número inteiro de pedras. Para garantir que o sistema chegue ou baixe até 50{ }^\circ\text{C} (isto é, para que haja calor suficiente para levar tudo até 50{ }^\circ\text{C}), devemos ter pelo menos n=7 pedras. Com n=6 pedras o calor absorvido seria insuficiente e a temperatura final seria maior que 50{ }^\circ\text{C}; com n=7 ou mais, poderemos atingir 50{ }^\circ\text{C} ou menos.

Passo 10

Agora a situação é: 50 pedras de 10\\ \text{g} → massa total de gelo m_{\text{gelo,total}} = 50\times 10\\ \text{g} = 500\\ \text{g}. Pedras a -10{ }^\circ\text{C}. Tigela+água a 90{ }^\circ\text{C}. Queremos a temperatura de equilíbrio final.
Estratégia: às vezes o equilíbrio será 0{ }^\circ\text{C} se houver gelo remanescente (mistura gelo+água); isso ocorre quando a energia disponível para derreter o gelo é menor que a necessária para derreter tudo. Vamos calcular se a energia liberada pela tigela+água ao esfriar até 0{ }^\circ\text{C} é suficiente para aquecer as pedras até 0{ }^\circ\text{C} e fundir todo o gelo.
  • Calor liberado por tigela+água ao esfriar de 90 a 0{ }^\circ\text{C}:
    • Tigela: \Delta T = 90 então
    Q_{\text{tigela,90→0}} = 300\\ \text{g}\times 0{,}38\times 90 = 300\times 34{,}2 = 10\,260\\ \text{J}.
    • Água:
    Q_{\text{água,90→0}} = 200\\ \text{g}\times 4{,}18\times 90 = 200\times 376{,}2 = 75\,240\\ \text{J}.á
    • Total liberado se chegam a 0{ }^\circ\text{C}:
    Q_{\text{disponível}} = 10\,260 + 75\,240 = 85\,500\\ \text{J}.í
  • Calor necessário para as pedras: primeiro aquecê-las de -10 a 0{ }^\circ\text{C}, depois fundir todo o gelo:
    • Aquecimento do gelo até 0{ }^\circ\text{C}:
    Q_{\text{gelo, -10→0}} = m_{\text{gelo,total}}\,c_{\text{gelo}}\,10 = 500\\ \text{g}\times 2{,}10\\ \times 10 = 10\,500\\ \text{J}.
    • Fusão de todo o gelo:
    Q_{\text{fusão total}} = m_{\text{gelo,total}}\,L_f = 500\\ \text{g}\times 334\\ = 167\,000\\ \text{J}.ã
    • Somando aquecimento + fusão total: 10\,500 + 167\,000 = 177\,500\\ \text{J}.
Comparando Q_{\text{disponível}} = 85\,500\\ \text{J}í com a energia necessária para aquecer e fundir todo o gelo =177\,500\\ \text{J}, vemos que a energia disponível é muito menor do que a necessária para derreter tudo. Isso significa que nem todo gelo vai derreter; portanto o sistema não chega a uma temperatura acima de 0{ }^\circ\text{C}. O equilíbrio térmico ocorrerá a 0{ }^\circ\text{C} com coexistência de gelo e água.
Opcional (útil para entender a situação): podemos calcular quanta massa de gelo vai derreter com a energia disponível além de aquecer o gelo de -10 a 0:
  • Energia disponível para fusão depois de aquecer o gelo a 0{ }^\circ\text{C}:
Q_{\text{para fusão}} = Q_{\text{disponível}} - Q_{\text{gelo, -10→0}} = 85\,500 - 10\,500 = 75\,000\\ \text{J}.ãí
  • Massa de gelo que derrete:
m_{\text{derretida}} = \dfrac{Q_{\text{para fusão}}}{L_f} = \dfrac{75\,000}{334}\approx 224{,}55\\ \text{g}.ã
Portanto sobra gelo não derretido de cerca de 500 - 224{,}55 \approx 275{,}45\\ \text{g}. Mas a pergunta pedia só a temperatura de equilíbrio, que é 0{ }^\circ\text{C}.

Resposta

(a) Q = 3\,550\\ \text{J}.
(c) 7 pedras.
(d) 0{ }^\circ\text{C}.

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