Determine a distância entre as retas \mathbf{r} que tem equação paramétricas: \left\{\begin{array}{l}x=1+2 t \\\ y=2+3 t \\\ z=1+5 t\end{array}\right. e a reta s que tem equação paramétrica: \left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=1+4 t \\\ y^{\prime}=2+2 t \\\ z^{\prime}=5+s\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá duas retas em forma paramétrica e pede a distância entre elas.
Informações fornecidas:
A reta \mathbf{r}\) tem equações paramétricas
\[\begin{cases} x = 1 + 2t,\\[4pt] y = 2 + 3t,\\[4pt] z = 1 + 5t. \end{cases}
A reta (s] tem equações paramétricas escritas como \begin{cases} x' = 1 + 4t,\\[4pt] y' = 2 + 2t,\\[4pt] z' = 5 + s. \end{cases}
Observação importante (ambiguidade): as parcelas paramétricas de s\) usam \(t\) para \(x'\) e \(y'\) e usam \(s\) para \(z'\). Não tenho certeza se isso foi um erro de digitação. Para que a reta \(s\) faça sentido como uma única reta paramétrica, vou assumir que o parâmetro é o mesmo em todas as coordenadas; isto é, assumirei que a reta \(s\) é
\[\begin{cases} x' = 1 + 4u,\\[4pt] y' = 2 + 2u,\\[4pt] z' = 5 + u, \end{cases}
com parâmetro (u]. Se a intenção fosse outra, a resposta pode mudar, mas essa é a interpretação natural e mais provável.
O que se pede: a distância mínima entre as duas retas (ou seja, a distância entre retas possivelmente reversas ou reversas e não paralelas — no caso geral de retas em espaço).]
Passo 2
Qual método vamos usar e por quê (explicação didática e intuitiva).
Ideia geométrica: se temos duas retas do espaço com vetores diretores \mathbf{u} e \mathbf{v}, o vetor normal ao plano que contém ambos (quando eles não são paralelos) é dado por \mathbf{n} = \mathbf{u}\times\mathbf{v} (o produto vetorial). Esse vetor é ortogonal a ambos os diretores.
Se tomarmos um ponto P em \mathbf{r} e um ponto Q em s, o vetor \overrightarrow{PQ} conecta as retas. A distância entre as retas é exatamente a componente de \overrightarrow{PQ} na direção normal \mathbf{n}, em valor absoluto, ou seja a projeção de \overrightarrow{PQ} sobre o versor de \mathbf{n}.
onde P é um ponto qualquer de \mathbf{r}, Q é um ponto qualquer de s, \mathbf{u} e \mathbf{v} são vetores diretores de \mathbf{r} e s respectivamente, e \|\cdot\| é a norma (módulo) do vetor. O numerador é o valor absoluto do produto escalar entre \overrightarrow{PQ} e \mathbf{u}\times\mathbf{v}; isso é também o valor absoluto do produto misto (ou triplo escalar) que corresponde ao volume do paralelepípedo formado por \overrightarrow{PQ},\mathbf{u},\mathbf{v}. Dividindo pelo módulo do gerador de área \mathbf{u}\times\mathbf{v} obtemos a altura desse paralelepípedo — que é exatamente a distância entre as retas.
Vou aplicar essa fórmula passo a passo, mostrando como calcular produto vetorial, produto escalar e norma.
Passo 3
Identificar pontos e vetores diretores das retas.
Um ponto na reta \mathbf{r} é o ponto obtido em t=0:
P=(1,\,2,\,1).
O vetor diretor de \mathbf{r} é o coeficiente do parâmetro t:
\mathbf{u}=(2,\,3,\,5).
Um ponto na reta s (na minha interpretação com parâmetro u) é o ponto em u=0:
Q=(1,\,2,\,5).
O vetor diretor de s é
\mathbf{v}=(4,\,2,\,1).
Também convém verificar rapidamente se as retas se intersectam (se intersectassem, a distância seria zero). Para checar interseção: resolver 1+2t = 1+4u, 2+3t = 2+2u, 1+5t = 5+u. Das duas primeiras equações obtemos t=2u e substituindo na segunda temos 3(2u)=2u\Rightarrow6u=2u\Rightarrow u=0\Rightarrow t=0. Substituindo na terceira: 1+5\cdot0 = 1 e 5+0=5, que não coincidem. Logo não há interseção — as retas são distintas e não se cruzam (são/ou skew ou paralelas). Como \mathbf{u} não é múltiplo de \mathbf{v} (2/4 ≠ 3/2 ≠ 5/1), não são paralelas; são retas skew. Então a fórmula do passo anterior é apropriada.
Passo 4
Calcular o produto vetorial \mathbf{u}\times\mathbf{v}.
Breve nota didática sobre o produto vetorial: o produto vetorial de dois vetores em \mathbb{R}^3 resulta num vetor perpendicular a ambos; sua norma é igual à área do paralelogramo formado pelos dois vetores, e sua direção é dada pela regra da mão direita.]
Passo 5
Calcular o vetor que conecta um ponto em \mathbf{r} a um ponto em s e o produto misto.
Interpretação final rápida: a distância entre as duas retas é a altura do paralelepípedo formado pelos vetores diretores e pelo vetor que conecta um ponto de uma reta a um ponto da outra; fizemos o cálculo direto.