Determine a distância entre as retas \mathbf{r} que tem equação paramétricas: \left\{\begin{array}{l}x=1+2 t \\\ y=2+3 t \\\ z=1+5 t\end{array}\right. e a reta s que tem equação paramétrica: \left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=1+4 t \\\ y^{\prime}=2+2 t \\\ z^{\prime}=5+s\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em forma paramétrica e pede a distância entre elas.
Informações fornecidas:
  • A reta \mathbf{r}\) tem equações paramétricas \[\begin{cases} x = 1 + 2t,\\[4pt] y = 2 + 3t,\\[4pt] z = 1 + 5t. \end{cases}
  • A reta (s] tem equações paramétricas escritas como
    \begin{cases} x' = 1 + 4t,\\[4pt] y' = 2 + 2t,\\[4pt] z' = 5 + s. \end{cases}
Observação importante (ambiguidade): as parcelas paramétricas de s\) usam \(t\) para \(x'\) e \(y'\) e usam \(s\) para \(z'\). Não tenho certeza se isso foi um erro de digitação. Para que a reta \(s\) faça sentido como uma única reta paramétrica, vou assumir que o parâmetro é o mesmo em todas as coordenadas; isto é, assumirei que a reta \(s\) é \[\begin{cases} x' = 1 + 4u,\\[4pt] y' = 2 + 2u,\\[4pt] z' = 5 + u, \end{cases}
com parâmetro (u]. Se a intenção fosse outra, a resposta pode mudar, mas essa é a interpretação natural e mais provável.
O que se pede: a distância mínima entre as duas retas (ou seja, a distância entre retas possivelmente reversas ou reversas e não paralelas — no caso geral de retas em espaço).]

Passo 2

Qual método vamos usar e por quê (explicação didática e intuitiva).
  • Ideia geométrica: se temos duas retas do espaço com vetores diretores \mathbf{u} e \mathbf{v}, o vetor normal ao plano que contém ambos (quando eles não são paralelos) é dado por \mathbf{n} = \mathbf{u}\times\mathbf{v} (o produto vetorial). Esse vetor é ortogonal a ambos os diretores.
  • Se tomarmos um ponto P em \mathbf{r} e um ponto Q em s, o vetor \overrightarrow{PQ} conecta as retas. A distância entre as retas é exatamente a componente de \overrightarrow{PQ} na direção normal \mathbf{n}, em valor absoluto, ou seja a projeção de \overrightarrow{PQ} sobre o versor de \mathbf{n}.
  • Portanto a fórmula útil (muito usada em provas) é
\text{dist}(\mathbf{r},s)=\frac{\bigl|\overrightarrow{PQ}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\bigr|}{\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|},
onde P é um ponto qualquer de \mathbf{r}, Q é um ponto qualquer de s, \mathbf{u} e \mathbf{v} são vetores diretores de \mathbf{r} e s respectivamente, e \|\cdot\| é a norma (módulo) do vetor. O numerador é o valor absoluto do produto escalar entre \overrightarrow{PQ} e \mathbf{u}\times\mathbf{v}; isso é também o valor absoluto do produto misto (ou triplo escalar) que corresponde ao volume do paralelepípedo formado por \overrightarrow{PQ},\mathbf{u},\mathbf{v}. Dividindo pelo módulo do gerador de área \mathbf{u}\times\mathbf{v} obtemos a altura desse paralelepípedo — que é exatamente a distância entre as retas.
Vou aplicar essa fórmula passo a passo, mostrando como calcular produto vetorial, produto escalar e norma.

Passo 3

Identificar pontos e vetores diretores das retas.
  • Um ponto na reta \mathbf{r} é o ponto obtido em t=0:
P=(1,\,2,\,1).
  • O vetor diretor de \mathbf{r} é o coeficiente do parâmetro t:
\mathbf{u}=(2,\,3,\,5).
  • Um ponto na reta s (na minha interpretação com parâmetro u) é o ponto em u=0:
Q=(1,\,2,\,5).
  • O vetor diretor de s é
\mathbf{v}=(4,\,2,\,1).
Também convém verificar rapidamente se as retas se intersectam (se intersectassem, a distância seria zero). Para checar interseção: resolver 1+2t = 1+4u, 2+3t = 2+2u, 1+5t = 5+u. Das duas primeiras equações obtemos t=2u e substituindo na segunda temos 3(2u)=2u\Rightarrow6u=2u\Rightarrow u=0\Rightarrow t=0. Substituindo na terceira: 1+5\cdot0 = 1 e 5+0=5, que não coincidem. Logo não há interseção — as retas são distintas e não se cruzam (são/ou skew ou paralelas). Como \mathbf{u} não é múltiplo de \mathbf{v} (2/4 ≠ 3/2 ≠ 5/1), não são paralelas; são retas skew. Então a fórmula do passo anterior é apropriada.

Passo 4

Calcular o produto vetorial \mathbf{u}\times\mathbf{v}.
  • Usamos o determinante formal:
\mathbf{u}\times\mathbf{v}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 2 & 3 & 5\\[4pt] 4 & 2 & 1 \end{vmatrix}.
Desenvolvendo por co-fatores:
\mathbf{u}\times\mathbf{v}= \mathbf{i}(3\cdot1-5\cdot2)-\mathbf{j}(2\cdot1-5\cdot4)+\mathbf{k}(2\cdot2-3\cdot4).
Calcule cada termo:
3\cdot1-5\cdot2=3-10=-7,
2\cdot1-5\cdot4=2-20=-18\quad\Rightarrow\quad -\bigl(2\cdot1-5\cdot4\bigr)= -(-18)=18,
2\cdot2-3\cdot4=4-12=-8.
Logo
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=(-7,\,18,\,-8).
Agora a norma de \mathbf{u}\times\mathbf{v} é
\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|=\sqrt{(-7)^2+18^2+(-8)^2}=\sqrt{49+324+64}=\sqrt{437}.
Breve nota didática sobre o produto vetorial: o produto vetorial de dois vetores em \mathbb{R}^3 resulta num vetor perpendicular a ambos; sua norma é igual à área do paralelogramo formado pelos dois vetores, e sua direção é dada pela regra da mão direita.]

Passo 5

Calcular o vetor que conecta um ponto em \mathbf{r} a um ponto em s e o produto misto.
  • O vetor de P para Q é
\overrightarrow{PQ}=Q-P=(1-1,\,2-2,\,5-1)=(0,\,0,\,4).
  • Agora o produto escalar entre \overrightarrow{PQ} e \mathbf{u}\times\mathbf{v} é
\overrightarrow{PQ}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v}) = (0,0,4)\cdot(-7,18,-8)=0\cdot(-7)+0\cdot18+4\cdot(-8) = -32.
O valor absoluto é |-32|=32. Esse valor corresponde ao volume do paralelepípedo formado pelos três vetores \overrightarrow{PQ},\mathbf{u},\mathbf{v}.

Passo 6

Aplicar a fórmula da distância.
  • Pela fórmula do passo 2,
\text{dist}(\mathbf{r},s)=\frac{\bigl|\overrightarrow{PQ}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\bigr|}{\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|} = \frac{32}{\sqrt{437}}.
  • Se quiser uma aproximação decimal (útil em prova se pedirem), calcule
\sqrt{437}\approx 20,904544\quad\Rightarrow\quad \frac{32}{\sqrt{437}}\approx 1,531.
Interpretação final rápida: a distância entre as duas retas é a altura do paralelepípedo formado pelos vetores diretores e pelo vetor que conecta um ponto de uma reta a um ponto da outra; fizemos o cálculo direto.

Resposta

\displaystyle \frac{32}{\sqrt{437}}\approx 1,531

Exercícios relacionados