Determinar a distância do ponto (-1,2,3) à reta \frac{x-7}{6}=\frac{y+3}{-2}=\frac{z}{3}
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:
Ponto dado: \,P = (-1,2,3).
Reta dada na forma simétrica: \dfrac{x-7}{6}=\dfrac{y+3}{-2}=\dfrac{z}{3}.
Pergunta: determinar a distância do ponto P até essa reta.
Informações relevantes extraídas da reta (não estou resolvendo ainda, só listando):
Uma forma prática de ler a reta é associar o parâmetro comum \,t=\dfrac{x-7}{6}=\dfrac{y+3}{-2}=\dfrac{z}{3}.
A reta passa por um ponto quando t=0, e tem um vetor diretor proporcional aos denominadores (6,-2,3).
Passo 2
Qual método vou usar (sem enunciado impondo método) e por quê:
Vou usar o método vetorial clássico: a distância de um ponto a uma reta em \mathbb{R}^3 pode ser calculada com produto vetorial. É direto, usa apenas operações com componentes e não exige resolver um sistema.
\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{P}-\overrightarrow{A} é o vetor que vai de A a P,
\times é o produto vetorial,
\|\cdot\| denota a norma (módulo) de um vetor.
Breve explicação da fórmula (por que ela funciona), bem mastigada:
O produto vetorial \overrightarrow{AP}\times \mathbf{v} tem norma igual a \|\overrightarrow{AP}\|\,\|\mathbf{v}\|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \overrightarrow{AP} e \mathbf{v}.
Geometricamente \|\overrightarrow{AP}\|\,\sin\theta é exatamente a distância do ponto P à reta que passa por A com direção \mathbf{v}.
Portanto dividir \|\overrightarrow{AP}\times \mathbf{v}\| por \|\mathbf{v}\| isola essa componente perpendicular, dando a distância procurada.
Passo 3
Escolher um ponto A na reta e o vetor diretor \mathbf{v}:
A reta está escrita como \dfrac{x-7}{6}=\dfrac{y+3}{-2}=\dfrac{z}{3}. Tomando o parâmetro comum igual a 0 (ou seja, t=0) obtemos o ponto
A=(7,-3,0).
O vetor formado pelos denominadores é um vetor diretor da reta: