Determinar a distância do ponto (-1,2,3) à reta \frac{x-7}{6}=\frac{y+3}{-2}=\frac{z}{3}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Ponto dado: \,P = (-1,2,3).
  • Reta dada na forma simétrica: \dfrac{x-7}{6}=\dfrac{y+3}{-2}=\dfrac{z}{3}.
  • Pergunta: determinar a distância do ponto P até essa reta.
Informações relevantes extraídas da reta (não estou resolvendo ainda, só listando):
  • Uma forma prática de ler a reta é associar o parâmetro comum \,t=\dfrac{x-7}{6}=\dfrac{y+3}{-2}=\dfrac{z}{3}.
  • A reta passa por um ponto quando t=0, e tem um vetor diretor proporcional aos denominadores (6,-2,3).

Passo 2

Qual método vou usar (sem enunciado impondo método) e por quê:
  • Vou usar o método vetorial clássico: a distância de um ponto a uma reta em \mathbb{R}^3 pode ser calculada com produto vetorial. É direto, usa apenas operações com componentes e não exige resolver um sistema.
  • A fórmula que vou usar é
\text{dist}=\frac{\big\|\overrightarrow{AP}\times \mathbf{v}\big\|}{\|\mathbf{v}\|},
onde:
  • \,A é um ponto qualquer da reta,
  • \,P é o ponto dado,
  • \mathbf{v} é o vetor diretor da reta,
  • \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{P}-\overrightarrow{A} é o vetor que vai de A a P,
  • \times é o produto vetorial,
  • \|\cdot\| denota a norma (módulo) de um vetor.
Breve explicação da fórmula (por que ela funciona), bem mastigada:
  • O produto vetorial \overrightarrow{AP}\times \mathbf{v} tem norma igual a \|\overrightarrow{AP}\|\,\|\mathbf{v}\|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \overrightarrow{AP} e \mathbf{v}.
  • Geometricamente \|\overrightarrow{AP}\|\,\sin\theta é exatamente a distância do ponto P à reta que passa por A com direção \mathbf{v}.
  • Portanto dividir \|\overrightarrow{AP}\times \mathbf{v}\| por \|\mathbf{v}\| isola essa componente perpendicular, dando a distância procurada.

Passo 3

Escolher um ponto A na reta e o vetor diretor \mathbf{v}:
  • A reta está escrita como \dfrac{x-7}{6}=\dfrac{y+3}{-2}=\dfrac{z}{3}. Tomando o parâmetro comum igual a 0 (ou seja, t=0) obtemos o ponto
A=(7,-3,0).
  • O vetor formado pelos denominadores é um vetor diretor da reta:
\mathbf{v}=(6,-2,3).

Passo 4

Calcular o vetor \overrightarrow{AP}:
  • \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{P}-\overrightarrow{A}.
  • Substituindo as coordenadas:
\overrightarrow{AP}=(-1,2,3)-(7,-3,0)=(-1-7,\;2-(-3),\;3-0)=(-8,5,3).

Passo 5

Calcular o produto vetorial \overrightarrow{AP}\times\mathbf{v} componente a componente:
  • Use a fórmula para o produto vetorial de (a_1,a_2,a_3)\times(b_1,b_2,b_3):
(a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1).
  • Aqui \overrightarrow{AP}=(-8,5,3) e \mathbf{v}=(6,-2,3). Então
\overrightarrow{AP}\times\mathbf{v}=\big(5\cdot 3 - 3\cdot(-2),\; 3\cdot 6 - (-8)\cdot 3,\; (-8)\cdot(-2) - 5\cdot 6\big).
  • Calculando cada componente:
    • Primeira componente: 5\cdot 3 - 3\cdot(-2)=15+6=21.
    • Segunda componente: 3\cdot 6 - (-8)\cdot 3=18+24=42.
    • Terceira componente: (-8)\cdot(-2) - 5\cdot 6=16-30=-14.
  • Logo
\overrightarrow{AP}\times\mathbf{v}=(21,\,42,\,-14).

Passo 6

Calcular a norma \big\|\overrightarrow{AP}\times\mathbf{v}\big\|:
  • A norma de um vetor (u_1,u_2,u_3) é \sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}.
  • Aqui:
\big\|\overrightarrow{AP}\times\mathbf{v}\big\|=\sqrt{21^2+42^2+(-14)^2}.
  • Calculando:
    • 21^2=441,
    • 42^2=1764,
    • (-14)^2=196.
  • Soma: 441+1764+196=2401.
  • Portanto
\big\|\overrightarrow{AP}\times\mathbf{v}\big\|=\sqrt{2401}=49.

Passo 7

Calcular a norma de \mathbf{v}:
  • \|\mathbf{v}\|=\sqrt{6^2+(-2)^2+3^2}=\sqrt{36+4+9}=\sqrt{49}=7.

Passo 8

Aplicar a fórmula da distância:
  • Pela fórmula do Passo 2,
\text{dist}=\frac{\big\|\overrightarrow{AP}\times\mathbf{v}\big\|}{\|\mathbf{v}\|}=\frac{49}{7}=7.

Resposta

7

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