Questão-5. Considere os subespaços U e W do espaço vetorial
dados por
Determine os subespaços vetoriais e suas respectivas dimensões:
a)
b)
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre subespaços vetoriais no espaço
. A gente tem dois subespaços,
e
, e precisa descobrir a interseção deles (
) e a soma deles (
), além das dimensões de cada um. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como combinações lineares, sistemas de equações e propriedades de dimensões de subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Esse conjunto contém todos os vetores que estão tanto em
quanto em
. O subespaço
é gerado pelos vetores
,
e
. Já o subespaço
é definido pela equação
.
Para encontrar
, a gente precisa encontrar combinações lineares dos vetores que geram
que também satisfazem a equação de
.
Passo 3
Vamos chamar os vetores geradores de
de
,
e
. Qualquer vetor em
pode ser escrito como
, onde
,
e
são escalares.
Então, temos:
Passo 4
Esse vetor precisa satisfazer a equação de
:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Então, temos a relação
.
Passo 5
Agora, substituímos
na expressão do vetor:
Isso mostra que todo vetor em
pode ser escrito como combinação de dois vetores:
Então,
é gerado por
e
.
Passo 6
Para achar a dimensão de
, observamos que temos dois vetores geradores e eles são linearmente independentes (não tem um múltiplo do outro). Portanto,
.
Passo 7
Agora, vamos para
. A soma de dois subespaços
é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
com um vetor de
.
Sabemos que:
Primeiro, vamos achar as dimensões individuais.
Passo 8
O subespaço
é gerado por três vetores que verificamos serem linearmente independentes, então
.
O subespaço
é definido por uma única equação linear em
, então sua dimensão é
.
Passo 9
Aplicando a fórmula da dimensão:
Isso significa que
é um subespaço de dimensão 4, que no caso de
é todo o espaço.
Resposta
a)
é o subespaço gerado por
e
, com dimensão 2.
b)
é todo o espaço
, com dimensão 4.