Questão-5. Considere os subespaços U e W do espaço vetorial R^4 dados por
U=[(1,0,1,1),(1,1,-1,0),(-1,0,0,1)] e W=(x, y, z, t) in R^4 ; x-y+z-t=0
Determine os subespaços vetoriais e suas respectivas dimensões:
a) U cap W
b) U+W

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre subespaços vetoriais no espaço R^4. A gente tem dois subespaços, U e W, e precisa descobrir a interseção deles ( U cap W) e a soma deles ( U + W), além das dimensões de cada um. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como combinações lineares, sistemas de equações e propriedades de dimensões de subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é U cap W. Esse conjunto contém todos os vetores que estão tanto em U quanto em W. O subespaço U é gerado pelos vetores (1,0,1,1), (1,1,-1,0) e (-1,0,0,1). Já o subespaço W é definido pela equação x - y + z - t = 0.
Para encontrar U cap W, a gente precisa encontrar combinações lineares dos vetores que geram U que também satisfazem a equação de W.

Passo 3

Vamos chamar os vetores geradores de U de v1 = (1,0,1,1), v2 = (1,1,-1,0) e v3 = (-1,0,0,1). Qualquer vetor em U pode ser escrito como a v1 + b v2 + c v3, onde a, b e c são escalares.
Então, temos:
a(1,0,1,1) + b(1,1,-1,0) + c(-1,0,0,1) = (a + b - c, b, a - b, a + c)

Passo 4

Esse vetor precisa satisfazer a equação de W:
x - y + z - t = 0
Substituindo os valores:
(a + b - c) - b + (a - b) - (a + c) = 0
Simplificando:
a + b - c - b + a - b - a - c = 0 a - b - 2c = 0
Então, temos a relação a = b + 2c.

Passo 5

Agora, substituímos a = b + 2c na expressão do vetor:
(a + b - c, b, a - b, a + c) = (2b + c, b, 2c, b + 3c)
Isso mostra que todo vetor em U cap W pode ser escrito como combinação de dois vetores:
b(2,1,0,1) + c(1,0,2,3)
Então, U cap W é gerado por (2,1,0,1) e (1,0,2,3).

Passo 6

Para achar a dimensão de U cap W, observamos que temos dois vetores geradores e eles são linearmente independentes (não tem um múltiplo do outro). Portanto, dim(U cap W) = 2.

Passo 7

Agora, vamos para U + W. A soma de dois subespaços U + W é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de U com um vetor de W.
Sabemos que:
dim(U + W) = dim U + dim W - dim(U cap W)
Primeiro, vamos achar as dimensões individuais.

Passo 8

O subespaço U é gerado por três vetores que verificamos serem linearmente independentes, então dim U = 3.
O subespaço W é definido por uma única equação linear em R^4, então sua dimensão é 4 - 1 = 3.

Passo 9

Aplicando a fórmula da dimensão:
dim(U + W) = 3 + 3 - 2 = 4
Isso significa que U + W é um subespaço de dimensão 4, que no caso de R^4 é todo o espaço.

Resposta

a) U cap W é o subespaço gerado por (2,1,0,1) e (1,0,2,3), com dimensão 2.
b) U + W é todo o espaço R^4, com dimensão 4.

Exercícios relacionados