Inverta a seguinte matriz, através da matriz dos cofatores e por duplo escalonamente:
Passo 1
Beleza, vamos inverter a matriz
A usando dois métodos diferentes: a matriz dos cofatores e o método de dupla escalonagem (também conhecido como método de eliminação de Gauss-Jordan). A matriz que queremos inverter é:
Para isso, precisamos entender conceitos como determinante, matriz adjunta (ou dos cofatores) e operações de linha. Vamos começar pelo método dos cofatores.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz
A , que é essencial para encontrar a inversa. Se o determinante for zero, a matriz não tem inversa. O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
Aplicando aos nossos valores:
Como o determinante é
-1 (diferente de zero), a matriz
A tem inversa.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a matriz dos cofatores. Para cada elemento de
A , calculamos o cofator, que é dado por:
onde
Mij é o menor complementar ao elemento da posição
(i, j) .
Vamos calcular cada cofator:
-
C11 = (+1) cdot det 2 & 1 2 & 1 = (2 cdot 1 - 1 cdot 2) = 0 -
C12 = (-1) cdot det 3 & 1 2 & 1 = - (3 cdot 1 - 1 cdot 2) = -1 -
C13 = (+1) cdot det 3 & 2 2 & 2 = (3 cdot 2 - 2 cdot 2) = 2 -
C21 = (-1) cdot det 1 & 0 2 & 1 = - (1 cdot 1 - 0 cdot 2) = -1 -
C22 = (+1) cdot det 1 & 0 2 & 1 = (1 cdot 1 - 0 cdot 2) = 1 -
C23 = (-1) cdot det 1 & 1 2 & 2 = - (1 cdot 2 - 1 cdot 2) = 0 -
C31 = (+1) cdot det 1 & 0 2 & 1 = (1 cdot 1 - 0 cdot 2) = 1 -
C32 = (-1) cdot det 1 & 0 3 & 1 = - (1 cdot 1 - 0 cdot 3) = -1 -
C33 = (+1) cdot det 1 & 1 3 & 2 = (1 cdot 2 - 1 cdot 3) = -1
Passo 4
Com os cofatores calculados, montamos a matriz dos cofatores:
Agora, a próxima etapa é encontrar a matriz adjunta, que é a transposta da matriz dos cofatores:
Passo 5
Finalmente, para encontrar a inversa de
A , usamos a fórmula:
Sabemos que
det(A) = -1 , então:
Passo 6
Agora, vamos inverter a matriz
A usando o método de dupla escalonagem. Para isso, escrevemos
A ao lado da matriz identidade
I :
Objetivo: transformar a parte esquerda em
I usando operações de linha, e a parte direita se tornará
A^-1 .
Passo 7
Primeiro, vamos tornar o primeiro elemento da primeira linha igual a 1 (já está OK). Agora, eliminamos os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna:
- Linha 2:
L2 = L2 - 3 cdot L1 - Linha 3:
L3 = L3 - 2 cdot L1
Aplicando:
Passo 8
Agora, queremos que o elemento na segunda coluna da segunda linha seja 1. Multiplicamos a segunda linha por -1:
Resultado:
Passo 9
Vamos eliminar os elementos acima e abaixo do 1 na segunda coluna:
- Linha 1:
L1 = L1 - 1 cdot L2 - Linha 3:
(já está OK)L3 = L3 - 0 cdot L2
Aplicando:
Passo 10
Finalmente, queremos que o elemento na terceira coluna da terceira linha seja 1 (já está). Eliminamos os elementos acima desse 1 na terceira coluna:
- Linha 1:
L1 = L1 - 1 cdot L3 - Linha 2:
L2 = L2 + 1 cdot L3
Aplicando:
Resposta
A inversa da matriz
A é: