Inverta a seguinte matriz, através da matriz dos cofatores e por duplo escalonamente:
A=[lll 1 & 1 & 0 3 & 2 & 1 2 & 2 & 1 ]

Passo 1

Beleza, vamos inverter a matriz A usando dois métodos diferentes: a matriz dos cofatores e o método de dupla escalonagem (também conhecido como método de eliminação de Gauss-Jordan). A matriz que queremos inverter é:
A = 1 & 1 & 0 3 & 2 & 1 2 & 2 & 1
Para isso, precisamos entender conceitos como determinante, matriz adjunta (ou dos cofatores) e operações de linha. Vamos começar pelo método dos cofatores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A , que é essencial para encontrar a inversa. Se o determinante for zero, a matriz não tem inversa. O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Aplicando aos nossos valores:
det(A) = 1(2 cdot 1 - 1 cdot 2) - 1(3 cdot 1 - 1 cdot 2) + 0(3 cdot 2 - 2 cdot 2) = 1(2 - 2) - 1(3 - 2) + 0 = 0 - 1 + 0 = -1
Como o determinante é -1 (diferente de zero), a matriz A tem inversa.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a matriz dos cofatores. Para cada elemento de A , calculamos o cofator, que é dado por:
Cij = (-1)^i+j cdot Mij
onde Mij é o menor complementar ao elemento da posição (i, j) .
Vamos calcular cada cofator:
  • C11 = (+1) cdot det 2 & 1 2 & 1 = (2 cdot 1 - 1 cdot 2) = 0
  • C12 = (-1) cdot det 3 & 1 2 & 1 = - (3 cdot 1 - 1 cdot 2) = -1
  • C13 = (+1) cdot det 3 & 2 2 & 2 = (3 cdot 2 - 2 cdot 2) = 2
  • C21 = (-1) cdot det 1 & 0 2 & 1 = - (1 cdot 1 - 0 cdot 2) = -1
  • C22 = (+1) cdot det 1 & 0 2 & 1 = (1 cdot 1 - 0 cdot 2) = 1
  • C23 = (-1) cdot det 1 & 1 2 & 2 = - (1 cdot 2 - 1 cdot 2) = 0
  • C31 = (+1) cdot det 1 & 0 2 & 1 = (1 cdot 1 - 0 cdot 2) = 1
  • C32 = (-1) cdot det 1 & 0 3 & 1 = - (1 cdot 1 - 0 cdot 3) = -1
  • C33 = (+1) cdot det 1 & 1 3 & 2 = (1 cdot 2 - 1 cdot 3) = -1

Passo 4

Com os cofatores calculados, montamos a matriz dos cofatores:
Cof(A) = 0 & -1 & 2 -1 & 1 & 0 1 & -1 & -1
Agora, a próxima etapa é encontrar a matriz adjunta, que é a transposta da matriz dos cofatores:
Adj(A) = 0 & -1 & 1 -1 & 1 & -1 2 & 0 & -1

Passo 5

Finalmente, para encontrar a inversa de A , usamos a fórmula:
A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A)
Sabemos que det(A) = -1 , então:
A^-1 = 1-1 cdot 0 & -1 & 1 -1 & 1 & -1 2 & 0 & -1 = 0 & 1 & -1 1 & -1 & 1 -2 & 0 & 1

Passo 6

Agora, vamos inverter a matriz A usando o método de dupla escalonagem. Para isso, escrevemos A ao lado da matriz identidade I :
[ A | I ] = [ ccc|ccc 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 2 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 ]
Objetivo: transformar a parte esquerda em I usando operações de linha, e a parte direita se tornará A^-1 .

Passo 7

Primeiro, vamos tornar o primeiro elemento da primeira linha igual a 1 (já está OK). Agora, eliminamos os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna:
  • Linha 2: L2 = L2 - 3 cdot L1
  • Linha 3: L3 = L3 - 2 cdot L1
Aplicando:
[ ccc|ccc 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & -1 & 1 & -3 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 1 ]

Passo 8

Agora, queremos que o elemento na segunda coluna da segunda linha seja 1. Multiplicamos a segunda linha por -1:
L2 = -1 cdot L2
Resultado:
[ ccc|ccc 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & -1 & 3 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 1 ]

Passo 9

Vamos eliminar os elementos acima e abaixo do 1 na segunda coluna:
  • Linha 1: L1 = L1 - 1 cdot L2
  • Linha 3: L3 = L3 - 0 cdot L2 (já está OK)
Aplicando:
[ ccc|ccc 1 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 0 & 1 & -1 & 3 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 1 ]

Passo 10

Finalmente, queremos que o elemento na terceira coluna da terceira linha seja 1 (já está). Eliminamos os elementos acima desse 1 na terceira coluna:
  • Linha 1: L1 = L1 - 1 cdot L3
  • Linha 2: L2 = L2 + 1 cdot L3
Aplicando:
[ ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 1 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 1 ]

Resposta

A inversa da matriz A é:
A^-1 = 0 & 1 & -1 1 & -1 & 1 -2 & 0 & 1

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