Calcule o determinante da seguinte matriz usando o método de Laplace:
A=[c|cccc 4 & 0 & 0 & 2 & 1 1 & 0 & 1 & 1 & 0 1 & 3 & 4 & 1 & -6 1 & 0 & 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & 1 & 1 ]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante de uma matriz 5times5 usando a expansão de Laplace (cofatores). Para isso, vamos escolher uma linha ou coluna com muitos zeros para simplificar o cálculo, aplicar a definição de cofactor
Cij=(-1)^i+jdet(Mij),
e iterar esse procedimento até chegar a determinantes de ordem menor.

Passo 2

Observando
A= 4 & 0 & 0 & 2 & 1 1 & 0 & 1 & 1 & 0 1 & 3 & 4 & 1 & -6 1 & 0 & 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & 1 & 1 ,
a coluna 2 tem apenas um elemento não nulo: a3,2=3. Logo, expandindo por essa coluna,
det(A) =sumi=1^5(-1)^i+2ai,2det(Mi2) =(-1)^3+2,3;detl(M3,2r) =-3;detl(M3,2r)

Passo 3

O menor M3,2 é a matriz 4times4 obtida retirando linha 3 e coluna 2 de A:
M3,2 = 4 & 0 & 2 & 1 1 & 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 & -1 0 & 0 & 1 & 1
Para continuar, note que na segunda coluna de M3,2 só há um não nulo: o elemento da linha 2, que vale 1.

Passo 4

Expandindo det(M3,2) pela sua coluna 2:
det(M3,2) =(-1)^2+2cdot1cdot det! 4 & 2 & 1 1 & 1 & -1 0 & 1 & 1 =det! 4 & 2 & 1 1 & 1 & -1 0 & 1 & 1
Agora calculamos o determinante do 3times3 por Laplace (ou Sarrus):
det 4 & 2 & 1 1 & 1 & -1 0 & 1 & 1 =4cdotdet1 & -11 & 1 -2cdotdet1 & -10 & 1 +1cdotdet1 & 10 & 1
Calculando cada menor:
det1 & -11 & 1=1cdot1-(-1)cdot1=2, det1 & -10 & 1=1cdot1-(-1)cdot0=1, det1 & 10 & 1=1cdot1-1cdot0=1
Logo
det 4 & 2 & 1 1 & 1 & -1 0 & 1 & 1 =4cdot2-2cdot1+1cdot1=8-2+1=7
Portanto det(M3,2)=7 e
det(A)=-3cdot7=-21

Resposta

-21

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