Questão 4 Sejam
matrizes invertíveis em
e representações respectivas dos operadores lineares
e
com
.
(a) Determine o posto do operador
;
(b) Determine a nulidade de
.
(a) Determine o posto do operador
(b) Determine a nulidade de
Passo 1
O enunciado dá que
e
são matrizes invertíveis em
, representando os operadores lineares
Queremos (a) o posto de
e (b) a nulidade de
. Para isso usaremos as propriedades de operadores invertíveis: um operador invertível em dimensão
tem posto
, e a composição de inversos é a identidade.
Passo 2
Como
e
são invertíveis em
, cada um tem posto máximo
Além disso, a composição de operadores invertíveis também é invertível, logo
Passo 3
Observe que
Esse é o operador identidade em
, cujo núcleo é trivial. Portanto,
Resposta
(a)
(b)
(b)