Questão 4 Sejam A, B matrizes invertíveis em \mathcal{M}_{5 \times 5}(\mathbb{R}) e representações respectivas dos operadores lineares T e U com T, U \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{5}\right).
(a) Determine o posto do operador T U;
(b) Determine a nulidade de (T U)\left(U^{-1} T^{-1}\right).

Passo 1

O enunciado dá que A e B são matrizes invertíveis em \mathcal{M}_{5\times5}(\mathbb{R}), representando os operadores lineares
T, U \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^5).
Queremos (a) o posto de TU e (b) a nulidade de (TU)(U^{-1}T^{-1}). Para isso usaremos as propriedades de operadores invertíveis: um operador invertível em dimensão 5 tem posto 5, e a composição de inversos é a identidade.

Passo 2

Como T e U são invertíveis em \mathbb{R}^5, cada um tem posto máximo
\mathrm{rank}(T)=5, \quad \mathrm{rank}(U)=5.
Além disso, a composição de operadores invertíveis também é invertível, logo
\mathrm{rank}(TU)=5.

Passo 3

Observe que
(TU)(U^{-1}T^{-1}) = T\bigl(U\,U^{-1}\bigr)T^{-1} = T\,I\,T^{-1} = I.
Esse é o operador identidade em \mathbb{R}^5, cujo núcleo é trivial. Portanto,
\mathrm{nul}\bigl((TU)(U^{-1}T^{-1})\bigr)=0.

Resposta

(a) \mathrm{rank}(TU)=5.
(b) \mathrm{nul}\bigl((TU)(U^{-1}T^{-1})\bigr)=0.

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