Questão 1.1
Considere os vetores v=3 i-2 j+k, w=i+j-2 k \in \mathbb{R}^{3}.
a) Calcule o ângulo entre v e w em graus com precisão de uma casa decimal.
b) Determine se v e w são vetores linearmente independentes.
c) Verifique se u=(1,0,1) pertence ao subespaço gerado por v e w.
d) Encontre vetores x, y \in \mathbb{R}^{3} tais que \mathrm{v}=\mathrm{x}+\mathrm{y}, \mathrm{y} \perp \mathrm{wex} \| \mathrm{w}.
e) Calcule o ângulo entre x e y em graus com precisão de uma casa decimal.

Passo 1

Dados do enunciado:
v=(3,-2,1),\qquad w=(1,1,-2),\qquad u=(1,0,1).
O enunciado pede:
a) Calcular o ângulo entre v e w em graus com precisão de uma casa decimal.
b) Dizer se v e w são linearmente independentes.
c) Verificar se u pertence ao subespaço gerado por v e w (ou seja, se existe combinação linear de v e w que dá u).
d) Encontrar vetores x,y\in\mathbb{R}^3 tais que v=x+y,\; y\perp w e x\parallel w.
e) Calcular o ângulo entre x e y em graus com precisão de uma casa decimal.

Passo 2

Conceito e fórmula para o ângulo entre vetores (aula curtinha): para dois vetores a,b\in\mathbb{R}^3 o produto escalar é
a\cdot b=\sum_{i=1}^3 a_i b_i.
A norma (comprimento) de a é
\|a\|=\sqrt{a\cdot a}.
O cosseno do ângulo \theta entre a e b é dado por
\cos\theta=\frac{a\cdot b}{\|a\|\,\|b\|}.
Depois de achar \cos\theta usamos a função arccos para obter \theta em radianos e convertemos para graus multiplicando por 180/\pi. Tudo claro — isso é suficiente para o item (a).

Passo 3

Calculemos o produto escalar e as normas de v e w.
Produto escalar:
v\cdot w=3\cdot 1 + (-2)\cdot 1 + 1\cdot(-2)=3-2-2=-1.
Normas:
\|v\|=\sqrt{3^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{9+4+1}=\sqrt{14},
\|w\|=\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula do cosseno:
\cos\theta=\frac{v\cdot w}{\|v\|\,\|w\|}=\frac{-1}{\sqrt{14}\,\sqrt{6}}=\frac{-1}{\sqrt{84}}.
Calculando numericamente,
\frac{-1}{\sqrt{84}}\approx -0,109108945\ldots
Tomando \theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{84}}\bigr) e convertendo para graus obtemos (arredondando para uma casa decimal)
\theta\approx 96,3^\circ.

Passo 5

Item (b): conceito de independência linear para dois vetores. Dois vetores v e w são linearmente dependentes se um é múltiplo escalar do outro: existe \lambda tal que v=\lambda w. Caso contrário, são linearmente independentes.
Verificamos se existe \lambda com 3=\lambda\cdot 1, -2=\lambda\cdot 1 e 1=\lambda\cdot(-2). Das primeiras coordenadas teria \lambda=3, da segunda \lambda=-2 — contradição. Logo não existe \lambda comum; portanto v e w não são múltiplos um do outro e são linearmente independentes.

Passo 6

Item (c): verificar se u\) pertence a \(\operatorname{span}\{v,w\}\). Isso significa procurar escalares \(a,b\) tais que \[a v + b w = u.
Escrevendo coordenada a coordenada obtemos o sistema linear:
\begin{cases} 3a + b = 1,\\[4pt] -2a + b = 0,\\[4pt] a - 2b = 1. \end{cases}
Subtraindo a segunda equação da primeira: (3a+b)-(-2a+b)=1-0\] dá \(5a=1, portanto
a=\tfrac{1}{5}.
Da segunda equação -2a+b=0 segue
b=2a=\tfrac{2}{5}.
Agora verificamos a terceira equação com esses valores:
a-2b=\tfrac{1}{5}-2\cdot\tfrac{2}{5}=\tfrac{1}{5}-\tfrac{4}{5}=-\tfrac{3}{5}\neq 1.
Há uma contradição: as três equações não são satisfeitas simultaneamente. Portanto não existem a,b que resolvam o sistema e, concluindo, u não pertence ao subespaço gerado por v e w.]

Passo 7

Item (d): interpretação e fórmula. Pedem decompor v em v=x+y com x paralelo a w e y perpendicular a w. Esta é a decomposição ortogonal de v em componente paralela a w (projeção) mais componente perpendicular. A projeção de v sobre w é
x=\operatorname{proj}_{w} v = \frac{v\cdot w}{w\cdot w}\,w.
Justificação curta: queremos x=\lambda w tal que v-x seja ortogonal a w. Condição w\cdot (v-\lambda w)=0 leva a \lambda=\dfrac{v\cdot w}{w\cdot w}.
Calculemos:
w\cdot w=\|w\|^2=6,\qquad v\cdot w=-1,
logo
x=\frac{-1}{6}\,w=\frac{-1}{6}(1,1,-2)=\left(-\tfrac{1}{6},-\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{3}\right).
Em seguida
y=v-x=(3,-2,1)-\left(-\tfrac{1}{6},-\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{3}\right) =\left(3+\tfrac{1}{6},-2+\tfrac{1}{6},1-\tfrac{1}{3}\right).
Colocando em frações:
y=\left(\tfrac{19}{6},-\tfrac{11}{6},\tfrac{2}{3}\right).
Verificação rápida da condição y\perp w:
y\cdot w=\tfrac{19}{6}\cdot 1 + \left(-\tfrac{11}{6}\right)\cdot 1 + \tfrac{2}{3}\cdot(-2) =\tfrac{19-11}{6}-\tfrac{4}{3}=\tfrac{8}{6}-\tfrac{8}{6}=0,
logo y é de fato ortogonal a w. E x é múltiplo de w, logo paralelo.

Passo 8

Item (e): ângulo entre x e y. Como y\perp w e x\parallel w, segue que x\perp y. Portanto o produto escalar x\cdot y=0 e o ângulo entre eles é \,90^\circ. Com uma casa decimal:
90,0^\circ.

Resposta

a) \theta\approx 96,3^\circ
b) Sim, v e w são linearmente independentes.
c) Não, u não pertence a \operatorname{span}\{v,w\}.
d) x=\left(-\tfrac{1}{6},-\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{3}\right),\quad y=\left(\tfrac{19}{6},-\tfrac{11}{6},\tfrac{2}{3}\right).
e) \;90,0^\circ

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