Questão 9. As constantes de velocidade para a reação de primeira ordem
são dadas abaixo para diferentes valores de temperatura. Qual o valor (a) da energia de ativação da reação e (b) do fator pré-exponencial da reação?
273
298
308
318
328
338
0,0787
3,46
13,5
49,8
150
487
|
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273 | 298 | 308 | 318 | 328 | 338 |
|
|
0,0787 | 3,46 | 13,5 | 49,8 | 150 | 487 |
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) a energia de ativação da reação ( );
(b) o fator pré-exponencial ( ) da reação de primeira ordem
.
(a) a energia de ativação da reação (
(b) o fator pré-exponencial (
Informações fornecidas (peguei estes números da tabela do enunciado). As temperaturas e as constantes de velocidade estão dadas na forma
em unidades de
:
-
, . -
, . -
, . -
, . -
, . -
, .
Observação importante: converti cada valor de
para unidades de
multiplicando por
(por exemplo, para
temos
).
Passo 2
Explicação da teoria que vamos usar (passo-a-passo como numa aula curta).
- A equação de Arrhenius relaciona a constante de velocidade
com a temperatura por:
onde:
-
é a constante de velocidade (unidade para reação de primeira ordem), -
é o fator pré-exponencial (frequência de colisões eficazes, unidade ), -
é a energia de ativação (unidade ), -
é a constante dos gases ideais ( ), -
é a temperatura absoluta em kelvin. -
Para linearizar e obter
e facilmente, tomamos o logaritmo natural:
Isto é uma equação linear do tipo
com inclinação
e intercepto
.
Método escolhido: ajustar uma reta (regressão linear) a todos os pontos
e extrair a inclinação
e o intercepto
. Usei todos os seis pontos para reduzir erro experimental. A regressão linear simples usa as fórmulas:
onde
e
é o número de pontos.
Passo 3
Preparação dos dados (mostrando como converter e montar os pares
).
-
Primeiro converti cada
para : -
. -
. -
. -
. -
. -
.
-
-
Para cada ponto calculei:
-
(em ), -
.
-
Valores numéricos calculados (apresento com precisão adequada para acompanhar a regressão):
(Se tiver curiosidade: os
acima vieram de
,
, etc., calculei com logaritmo natural.)]
Passo 4
Cálculo das somas necessárias para a regressão (mostro os resultados usados).
Calculei:
Calculei:
Esses valores foram obtidos somando os
, os
, os produtos
e os quadrados
de cada linha da tabela do passo anterior.]
Passo 5
Cálculo da inclinação
e do intercepto
usando as fórmulas da regressão.
- A inclinação:
Substituindo os valores numéricos:
(Portanto
.)
- O intercepto:
Passo 6
Obtenção de
e
a partir de
e
.
- Como
, temos
Com
e
,
É habitualmente útil expressar em kJ/mol:
- Como
, temos
Calculando,
Passo 7
Interpretação rápida e verificação de ordem de grandeza (inspiração de colega amigável):
- O valor de
~ (≈ ) é típico para muitas reações gasosas de decomposição — então faz sentido físico. - O fator
da ordem de também é razoável para uma constante pré-exponencial associada a eventos moleculares por segundo.
Resposta
(a)
(b)
(b)