Questão 8. Construir os gráficos das seguintes funções periódicas. Diga, o conjunto imagem, o domínio e o período de cada.
f(x)=\operatorname{sen}(2 x)

Passo 1

O enunciado pede que se construa o gráfico da função f(x)=\operatorname{sen}(2x) e que se diga:
  • o domínio;
  • o conjunto imagem (intervalo de valores que f assume);
  • o período da função.
Informação dada explicitamente:
  • A função é f(x)=\operatorname{sen}(2x).

Passo 2

Entender primeiro a função \operatorname{sen}(x) “padrão” para poder transformar e desenhar \operatorname{sen}(2x).
Fatos importantes sobre \operatorname{sen}(x):
  • Domínio: todos os reais, isto é \mathbb{R}.
  • Imagem (intervalo de valores): [-1,1] porque seno nunca passa de 1 nem de -1.
  • Período: 2\pi. Isso significa que \operatorname{sen}(x+2\pi)=\operatorname{sen}(x) para todo x.
  • Amplitude: 1 (distância do eixo x até máximos e mínimos).
  • Pontos-chave num período padrão [0,2\pi]:
    • x=0: \operatorname{sen}(0)=0.
    • x=\tfrac{\pi}{2}: \operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1.
    • x=\pi: \operatorname{sen}(\pi)=0.
    • x=\tfrac{3\pi}{2}: \operatorname{sen}\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=-1.
    • x=2\pi: \operatorname{sen}(2\pi)=0.
Explicação curta (sem jargão): o gráfico de \operatorname{sen}(x) é uma onda suave que sobe de 0 até 1, desce passando por 0 até -1 e volta a 0 ao completar 2\pi unidades no eixo x.

Passo 3

Efeito do fator 2 dentro do argumento: olhar a função geral \operatorname{sen}(b x).
Propriedade útil:
  • A função \operatorname{sen}(b x) repete quando b(x+T) difere de b x por um múltiplo de 2\pi: b(x+T)=b x+2\pi.
  • Daí bT=2\pi e o menor T>0 que serve é
T=\frac{2\pi}{|b|}.
Isto mostra que multiplicar x por b comprime (se |b|>1) ou estica (se |b|<1) a função horizontalmente. A amplitude não muda.

Passo 4

Aplicar com b=2:
T=\frac{2\pi}{|2|}=\frac{2\pi}{2}=\pi.
Portanto o período de \operatorname{sen}(2x) é \pi.
Amplitude: continua 1, então a imagem permanece [-1,1].
Domínio: ainda todos os reais, isto é \mathbb{R}, porque seno está definido para qualquer x.

Passo 5

Calcular pontos-chave de um período de \operatorname{sen}(2x). Como o período é \pi, escolhemos o intervalo [0,\pi]:
  • x=0:
f(0)=\operatorname{sen}(2\cdot 0)=\operatorname{sen}(0)=0.
  • x=\frac{\pi}{4} (um quarto do período, pois \pi/4=\tfrac{1}{4}\pi):
f\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\operatorname{sen}\!\left(2\cdot\tfrac{\pi}{4}\right)=\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1.
  • x=\frac{\pi}{2} (metade do período):
f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\operatorname{sen}\!\left(2\cdot\tfrac{\pi}{2}\right)=\operatorname{sen}(\pi)=0.
  • x=\frac{3\pi}{4} (três quartos do período):
f\!\left(\tfrac{3\pi}{4}\right)=\operatorname{sen}\!\left(2\cdot\tfrac{3\pi}{4}\right)=\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=-1.
  • x=\pi:
f(\pi)=\operatorname{sen}(2\pi)=0,
que fecha o período [0,\pi] com o mesmo valor em x=0.
Também é útil saber:
  • Zeros (onde a função vale 0): resolver \operatorname{sen}(2x)=0 2x=k\pi\Rightarrow x=\dfrac{k\pi}{2} para k\in\mathbb{Z}. Ou seja, zeros em x= \dots, -\tfrac{\pi}{2},0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2},\dots.
  • Máximos (valor 1): quando 2x=\tfrac{\pi}{2}+2\pi k\Rightarrow x=\tfrac{\pi}{4}+\pi k.
  • Mínimos (valor -1): quando 2x=\tfrac{3\pi}{2}+2\pi k\Rightarrow x=\tfrac{3\pi}{4}+\pi k.

Passo 6

Como desenhar o gráfico na prova (passo a passo prático):
  1. Marcar no eixo x os pontos x=k\frac{\pi}{2} (esses são os zeros). Entre dois zeros consecutivos há um máximo ou mínimo.
  2. Entre x=0 e x=\pi marcar os pontos já calculados: \left(0,0\right), \left(\tfrac{\pi}{4},1\right), \left(\tfrac{\pi}{2},0\right), \left(\tfrac{3\pi}{4},-1\right), \left(\pi,0\right).
  3. Ligar esses pontos com uma curva suave (sem cantos), lembrando que seno é contínuo e tem subida e descida suave.
  4. Repetir o padrão para a direita e para a esquerda porque a função é periódica com período \pi.
  5. Conferir amplitude: a curva nunca ultrapassa 1 nem vai abaixo de -1.
Observação simpática: \operatorname{sen}(2x) é uma versão “mais rápida” de \operatorname{sen}(x): completa uma onda inteira em \pi unidades no eixo x, enquanto \operatorname{sen}(x) leva 2\pi.

Passo 7

Resumo das propriedades usadas e por que elas garantem as respostas:
  • O domínio é \mathbb{R} porque \operatorname{sen} está definido para todos os reais.
  • A imagem é [-1,1] porque multiplicar o argumento por 2 não altera os valores máximos e mínimos que o seno pode assumir.
  • O período é \pi pois, para \operatorname{sen}(b x), o período é \dfrac{2\pi}{|b|} e aqui b=2.
Força aí — siga os passos de marcação e vai desenhar o gráfico rapidinho na prova!

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [ -1,\,1 ]
Período: \pi

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