Questão 8. Construir os gráficos das seguintes funções periódicas. Diga, o conjunto imagem, o domínio e o período de cada.
Passo 1
O enunciado pede que se construa o gráfico da função
e que se diga:
- o domínio;
- o conjunto imagem (intervalo de valores que
assume); - o período da função.
Informação dada explicitamente:
- A função é
.
Passo 2
Entender primeiro a função
“padrão” para poder transformar e desenhar
.
Fatos importantes sobre
:
- Domínio: todos os reais, isto é
. - Imagem (intervalo de valores):
porque seno nunca passa de nem de . - Período:
. Isso significa que para todo . - Amplitude:
(distância do eixo até máximos e mínimos). - Pontos-chave num período padrão
: -
: . -
: . -
: . -
: . -
: .
-
Explicação curta (sem jargão): o gráfico de
é uma onda suave que sobe de
até
, desce passando por
até
e volta a
ao completar
unidades no eixo
.
Passo 3
Efeito do fator
dentro do argumento: olhar a função geral
.
Propriedade útil:
- A função
repete quando difere de por um múltiplo de : . - Daí
e o menor que serve é
Isto mostra que multiplicar
por
comprime (se
) ou estica (se
) a função horizontalmente. A amplitude não muda.
Passo 4
Aplicar com
:
Portanto o período de
é
.
Amplitude: continua
, então a imagem permanece
.
Domínio: ainda todos os reais, isto é
, porque seno está definido para qualquer
.
Passo 5
Calcular pontos-chave de um período de
. Como o período é
, escolhemos o intervalo
:
-
:
-
(um quarto do período, pois ):
-
(metade do período):
-
(três quartos do período):
-
:
que fecha o período
com o mesmo valor em
.
Também é útil saber:
- Zeros (onde a função vale
): resolver dá para . Ou seja, zeros em . - Máximos (valor
): quando . - Mínimos (valor
): quando .
Passo 6
Como desenhar o gráfico na prova (passo a passo prático):
- Marcar no eixo
os pontos (esses são os zeros). Entre dois zeros consecutivos há um máximo ou mínimo. - Entre
e marcar os pontos já calculados: , , , , . - Ligar esses pontos com uma curva suave (sem cantos), lembrando que seno é contínuo e tem subida e descida suave.
- Repetir o padrão para a direita e para a esquerda porque a função é periódica com período
. - Conferir amplitude: a curva nunca ultrapassa
nem vai abaixo de .
Observação simpática:
é uma versão “mais rápida” de
: completa uma onda inteira em
unidades no eixo
, enquanto
leva
.
Passo 7
Resumo das propriedades usadas e por que elas garantem as respostas:
- O domínio é
porque está definido para todos os reais. - A imagem é
porque multiplicar o argumento por não altera os valores máximos e mínimos que o seno pode assumir. - O período é
pois, para , o período é e aqui .
Força aí — siga os passos de marcação e vai desenhar o gráfico rapidinho na prova!
Resposta
Domínio:
Imagem:
Período:
Imagem:
Período: