Questão 6. Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.
h(x)=2-|x|

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Encontrar o domínio da função h(x)=2-|x|.
  • Esboçar o gráfico dessa função.
Informações que o enunciado dá:
  • A expressão da função é h(x)=2-|x|.
  • Não há mais restrições dadas (por exemplo, não há denominação, raiz par, log, etc.).

Passo 2

Entender o que é |x|\) (valor absoluto) é essencial. Definição: \[|x|=\begin{cases} x, & x\ge 0,\\[4pt] -x, & x<0. \end{cases}
Isso significa: se x\] é não negativo, \(|x| é x; se x é negativo, |x| é -x (que é positivo). Vou usar essa definição para reescrever h de forma mais direta.]

Passo 3

Reescrever h(x)=2-|x|\) em forma peça a peça, usando a definição de \(|x|\): \[h(x)=\begin{cases} 2+x, & x<0,\\[4pt] 2-x, & x\ge 0. \end{cases}
Explicação curta: para x<0\] temos \(|x|=-x então 2-|x|=2-(-x)=2+x; para x\ge0 temos |x|=x então 2-|x|=2-x.]

Passo 4

Determinar o domínio. Cada ramo da função acima ( 2+x e 2-x) é uma função afim (reta) definida para todos os reais. Não há denominador que zere, nem raiz de índice par com argumento negativo, nem log de número não-positivo. Portanto a função está definida para todo x\in\mathbb{R}. Conclusão:
\text{Domínio}(h)=\mathbb{R}.í

Passo 5

Encontrar pontos importantes para o esboço (vértice, interceptos):
  • Vértice (ponto onde muda a expressão): em x=0. Calcular h(0):
h(0)=2-|0|=2.
Logo o vértice é (0,2).
  • Intercepto com o eixo x (zeros): resolver 2-|x|=0 |x|=2, então
x=\pm 2.
Portanto os zeros são (-2,0) e (2,0).
  • Intercepto com o eixo y: é h(0)=2, já encontrado (ponto (0,2)).

Passo 6

Comportamento e inclinações (para desenhar corretamente):
  • Para x\ge0, h(x)=2-x, que é uma reta de inclinação -1 (desce 1 para cada unidade à direita).
  • Para x<0, h(x)=2+x, que é uma reta de inclinação +1 (sobe 1 para cada unidade à direita).
  • Assim o gráfico é um “V” virado para baixo (apex no topo), com vértice em (0,2).
  • Simetria: h é função par, pois h(-x)=2-|{-x}|=2-|x|=h(x). Isso diz que o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
  • Limites extremos: quando |x|\to\infty tem h(x)=2-|x|\to -\infty. Portanto a imagem (contraste) é (-\infty,2].

Passo 7

Tabela rápida de pontos para ajudar no esboço (você pode marcar esses no papel):
\begin{array}{c|c} x & h(x)=2-|x|\\hline -3 & 2-3=-1\\\\ -2 & 2-2=0\\\\ -1 & 2-1=1\\\\ 0 & 2\\\\ 1 & 1\\\\ 2 & 0\\\\ 3 & -1 \end{array}
Use esses pontos: (-3,-1),(-2,0),(-1,1),(0,2),(1,1),(2,0),(3,-1). Ligue-os com duas retas: uma reta entre todos os pontos à esquerda do vértice e outra reta para os pontos à direita.

Passo 8

Como desenhar passo a passo no papel (passo prático para a prova):
  1. Marque o ponto (0,2) — é o vértice e o intercepto em y.
  2. Marque os zeros em (-2,0) e (2,0).
  3. Marque mais um ou dois pontos de cada lado (por exemplo (-1,1) e (1,1) ou (-3,-1) e (3,-1)).
  4. Desenhe uma reta ligando os pontos à esquerda do vértice (reta de equação y=2+x para x<0) e outra reta ligando os pontos à direita (reta y=2-x para x\ge0). Será um “V” com abertura 90° (pendentes \pm 1).
  5. Indique que o gráfico continua indefinidamente para baixo (vai até -\infty quando |x|\to\infty).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}\) Esboço do gráfico: \(h(x)=\begin{cases}2+x,&x<0,\\[4pt]2-x,&x\ge0,\end{cases} com vértice em (0,2), zeros em (-2,0) e (2,0); imagem (-\infty,2].]

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