Questão 6. Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Encontrar o domínio da função
. - Esboçar o gráfico dessa função.
Informações que o enunciado dá:
- A expressão da função é
. - Não há mais restrições dadas (por exemplo, não há denominação, raiz par, log, etc.).
Passo 2
Entender o que é
Isso significa: se
é
; se
é negativo,
é
(que é positivo). Vou usar essa definição para reescrever
de forma mais direta.]
Passo 3
Reescrever
Explicação curta: para
então
; para
temos
então
.]
Passo 4
Determinar o domínio. Cada ramo da função acima (
e
) é uma função afim (reta) definida para todos os reais. Não há denominador que zere, nem raiz de índice par com argumento negativo, nem log de número não-positivo. Portanto a função está definida para todo
. Conclusão:
Passo 5
Encontrar pontos importantes para o esboço (vértice, interceptos):
- Vértice (ponto onde muda a expressão): em
. Calcular :
Logo o vértice é
.
- Intercepto com o eixo
(zeros): resolver dá , então
Portanto os zeros são
e
.
- Intercepto com o eixo
: é , já encontrado (ponto ).
Passo 6
Comportamento e inclinações (para desenhar corretamente):
- Para
, , que é uma reta de inclinação (desce 1 para cada unidade à direita). - Para
, , que é uma reta de inclinação (sobe 1 para cada unidade à direita). - Assim o gráfico é um “V” virado para baixo (apex no topo), com vértice em
. - Simetria:
é função par, pois . Isso diz que o gráfico é simétrico em relação ao eixo . - Limites extremos: quando
tem . Portanto a imagem (contraste) é .
Passo 7
Tabela rápida de pontos para ajudar no esboço (você pode marcar esses no papel):
Use esses pontos:
. Ligue-os com duas retas: uma reta entre todos os pontos à esquerda do vértice e outra reta para os pontos à direita.
Passo 8
Como desenhar passo a passo no papel (passo prático para a prova):
- Marque o ponto
— é o vértice e o intercepto em . - Marque os zeros em
e . - Marque mais um ou dois pontos de cada lado (por exemplo
e ou e ). - Desenhe uma reta ligando os pontos à esquerda do vértice (reta de equação
para ) e outra reta ligando os pontos à direita (reta para ). Será um “V” com abertura 90° (pendentes ). - Indique que o gráfico continua indefinidamente para baixo (vai até
quando ).
Resposta
Domínio:
com vértice em
, zeros em
e
; imagem
.]