Questão 6. Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Encontrar o domínio da função.
- Esboçar o gráfico da função.
Informações que o enunciado fornece:
- A função é
.
Passo 2
O que é domínio e como verificar se há restrições?
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a expressão que define a função faz sentido (ou seja, existe e não viola regras da matemática, como divisão por zero ou raiz de índice par de número negativo, logaritmo de número não positivo, etc.).
Aqui a expressão é . Isso é um polinômio (a soma de termos monômios). Polinômios são definidos para qualquer número real: não há divisão, raiz fracionária, logaritmo nem outra operação que imponha restrição. Portanto não há valores proibidos.
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
Aqui a expressão é
Passo 3
Conclusão sobre o domínio (explicada):
Como é um polinômio, ele está definido para todo
. Ou seja, não há restrições a
.
Como
Passo 4
Entendendo a forma da função: coeficientes e comportamento básico.
A função é um polinômio de segundo grau (uma parábola). Escrevendo na forma padrão de quadrática , tem-se:
A função é um polinômio de segundo grau (uma parábola). Escrevendo na forma padrão de quadrática
logo
,
,
.
Regra prática: o sinal de diz para onde a parábola abre:
Regra prática: o sinal de
- se
abre para cima; - se
abre para baixo.
Aqui, então a parábola abre para baixo.
Passo 5
Achar o vértice (passo fundamental para esboçar).
Para uma parábola o eixo de simetria tem equação
. Aqui
e
, então
Para uma parábola
A ordenada do vértice é
. Calcule:
Portanto o vértice é o ponto
.
Passo 6
Obter a forma canônica (completando o quadrado) para visualizar melhor:
Partindo de ,
Partindo de
Essa é a forma vértice:
. A partir dela fica explícito que o vértice é
e que a parábola é da forma
, isto é, invertida (abre para baixo) e deslocada para cima de
.
Passo 7
Interceptos com os eixos (pontos para plotar):
- Intercepto em
(tomando ): já calculado . Assim o ponto é . - Interceptos em
(resolver ):
Então os pontos onde a parábola cruza o eixo
são
e
.
Passo 8
Comportamento para
grande (comportamento de extremidade):
O termo dominante é . Para
grande,
. Portanto
O termo dominante é
Isso confirma que os ramos da parábola caem para baixo em ambas as direções.
Passo 9
Escolha de pontos adicionais para um esboço confiável e simetria:
A função é par (porque ), logo é simétrica em relação ao eixo
(eixo
). Alguns pontos úteis:
A função é par (porque
Esses pontos mostram claramente a forma: vértice em
, cruzando o eixo
em
, e caindo rapidamente para valores negativos.
Passo 10
Como esboçar na prova (passo a passo prático que pode usar na hora):
- Marque o vértice
. - Desenhe o eixo de simetria
. - Marque os interceptos
e e o intercepto em que coincide com o vértice. - Marque mais um par de pontos simétricos, por exemplo
e . - Una suavemente os pontos com uma curva em forma de parábola que abre para baixo, respeitando a simetria.
Passo 11
Observações finais e dicas para a prova (motivação):
- Sempre que ver um polinômio de grau
, procure logo , vértice (fórmula ou completando o quadrado), interceptos e simetria; com isso o esboço fica rápido. - Não se assuste: para essa função específica bastam três pontos bem escolhidos para um esboço convincente. Você já fez a parte mais difícil — identificar vértice e interceptos. Vai dar certo, respira e desenha com calma!
Resposta
Domínio:
Gráfico (esboço): parábola com vértice em , abre para baixo (
), interceptos em
em
e
, intercepto em
em
e
.
Gráfico (esboço): parábola com vértice em