Questão 6. Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.
f(x)=1-x^{2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Encontrar o domínio da função.
  • Esboçar o gráfico da função.
Informações que o enunciado fornece:
  • A função é f(x)=1-x^{2}.

Passo 2

O que é domínio e como verificar se há restrições?
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a expressão que define a função faz sentido (ou seja, existe e não viola regras da matemática, como divisão por zero ou raiz de índice par de número negativo, logaritmo de número não positivo, etc.).
Aqui a expressão é 1-x^{2}. Isso é um polinômio (a soma de termos monômios). Polinômios são definidos para qualquer número real: não há divisão, raiz fracionária, logaritmo nem outra operação que imponha restrição. Portanto não há valores proibidos.

Passo 3

Conclusão sobre o domínio (explicada):
Como 1-x^{2} é um polinômio, ele está definido para todo x\in\mathbb{R}. Ou seja, não há restrições a x.

Passo 4

Entendendo a forma da função: coeficientes e comportamento básico.
A função é um polinômio de segundo grau (uma parábola). Escrevendo na forma padrão de quadrática ax^{2}+bx+c, tem-se:
f(x) = 1-x^{2} = -1\cdot x^{2} + 0\cdot x + 1,
logo a=-1, b=0, c=1.
Regra prática: o sinal de a diz para onde a parábola abre:
  • se a>0 abre para cima;
  • se a<0 abre para baixo.
    Aqui a=-1<0, então a parábola abre para baixo.

Passo 5

Achar o vértice (passo fundamental para esboçar).
Para uma parábola ax^{2}+bx+c o eixo de simetria tem equação x_v = -\dfrac{b}{2a}. Aqui b=0 e a=-1, então
x_v = -\dfrac{0}{2\cdot(-1)} = 0.
A ordenada do vértice é y_v = f(x_v) = f(0). Calcule:
f(0)=1-0^{2}=1.
Portanto o vértice é o ponto (0,1).

Passo 6

Obter a forma canônica (completando o quadrado) para visualizar melhor:
Partindo de f(x)=1-x^{2},
f(x)=-(x^{2}-1) = -(x-0)^{2}+1.
Essa é a forma vértice: f(x)=-(x-0)^{2}+1. A partir dela fica explícito que o vértice é (0,1) e que a parábola é da forma -(\text{quadrado})+1, isto é, invertida (abre para baixo) e deslocada para cima de 1.

Passo 7

Interceptos com os eixos (pontos para plotar):
  • Intercepto em y (tomando x=0): já calculado f(0)=1. Assim o ponto é (0,1).
  • Interceptos em x (resolver f(x)=0):
1-x^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 1.
Então os pontos onde a parábola cruza o eixo x são (-1,0) e (1,0).

Passo 8

Comportamento para x grande (comportamento de extremidade):
O termo dominante é -x^{2}. Para |x| grande, -x^{2}\to -\infty. Portanto
\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = -\infty.
Isso confirma que os ramos da parábola caem para baixo em ambas as direções.

Passo 9

Escolha de pontos adicionais para um esboço confiável e simetria:
A função é par (porque f(-x)=1-(-x)^{2}=1-x^{2}=f(x)), logo é simétrica em relação ao eixo y (eixo x=0). Alguns pontos úteis:
\begin{array}{c|c} x & f(x)\\hline -2 & 1-(-2)^{2}=1-4=-3\\\\ -1 & 0\\\\ 0 & 1\\\\ 1 & 0\\\\ 2 & -3 \end{array}
Esses pontos mostram claramente a forma: vértice em (0,1), cruzando o eixo x em \pm 1, e caindo rapidamente para valores negativos.

Passo 10

Como esboçar na prova (passo a passo prático que pode usar na hora):
  1. Marque o vértice (0,1).
  2. Desenhe o eixo de simetria x=0.
  3. Marque os interceptos (-1,0) e (1,0) e o intercepto em y que coincide com o vértice.
  4. Marque mais um par de pontos simétricos, por exemplo (-2,-3) e (2,-3).
  5. Una suavemente os pontos com uma curva em forma de parábola que abre para baixo, respeitando a simetria.

Passo 11

Observações finais e dicas para a prova (motivação):
  • Sempre que ver um polinômio de grau 2, procure logo a,b,c, vértice (fórmula ou completando o quadrado), interceptos e simetria; com isso o esboço fica rápido.
  • Não se assuste: para essa função específica bastam três pontos bem escolhidos para um esboço convincente. Você já fez a parte mais difícil — identificar vértice e interceptos. Vai dar certo, respira e desenha com calma!

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Gráfico (esboço): parábola com vértice em (0,1), abre para baixo ( a=-1), interceptos em x em (-1,0) e (1,0), intercepto em y em (0,1) e \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=-\infty.

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