Questão 8 (Conversão de Coordenadas)
Um vértice de apoio possui as seguintes coordenadas geodésicas (SIRGAS2000):
-
-
-
(Altura Geométrica)
Calcule as Coordenadas Cartesianas Geocêntricas (X, Y, Z) deste ponto.
Dica: Utilize os valores de
calculados especificamente para esta latitude.
Dica: Utilize os valores de
Passo 1
O enunciado dá as coordenadas geodésicas (SIRGAS2000) do vértice:
O que é pedido: calcular as coordenadas cartesianas geocêntricas
correspondentes a esse ponto.
Dados adicionais que vou usar (padrão SIRGAS2000 / GRS80): o semi-eixo maior e a forma pela qual se obtém o raio de curvatura
. Não há figura nem outra tabela: todas as informações necessárias estão acima.
Dados adicionais que vou usar (padrão SIRGAS2000 / GRS80): o semi-eixo maior
Passo 2
Converter latitude e longitude de graus-minutos-segundos para graus decimais e em seguida para radianos (sempre explicar por quê): nas fórmulas trigonométricas a entrada é em radianos, por isso a conversão.
Primeiro passar DMS
graus decimais:
Agora graus
radianos usando o fator
:
Observação rápida:
converte graus em radianos; sempre mantenha mais casas decimais aqui para evitar perda de precisão nas contas seguintes.
Passo 3
Colocar os parâmetros do elipsóide (SIRGAS2000 usa o elipsóide GRS80) e calcular a excentricidade:
valores (padrão GRS80 / SIRGAS2000)
valores (padrão GRS80 / SIRGAS2000)
A excentricidade ao quadrado vale
Explicação didática:
é o semi-eixo maior (raio equatorial);
é o achatamento;
mede “o quanto” o elipsóide se afasta da esfera. Esses valores entram na fórmula do raio de curvatura normal
.
Passo 4
Calcular o raio de curvatura em latitude (o
pedido pela dica). A fórmula e a ideia:
Aqui
é o seno da latitude (em radianos). Interpretando:
é o “raio” no plano normal ao elipsóide na latitude dada e aparece nas fórmulas de conversão geodésica → cartesiana.
Calcular
e
(usei os valores em radianos obtidos no passo 2):
Agora calcular
:
Explicação: o fator
reduz o denominador quando a latitude afeta a curvatura; para latitudes médias
é ligeiramente maior que
.
Passo 5
Apresentar as fórmulas de conversão final (essas são as fórmulas padrão que deve memorizar para a prova):
Explicação das variáveis:
-
definido no passo anterior (raio de curvatura normal); -
é a altura elipsoidal/geométrica dada; -
são latitude e longitude em radianos; -
, projetam o ponto no plano equatorial; o fator em usa porque o elipsóide tem achatamento.
Passo 6
Calcular
e os produtos trigonométricos necessários:
Já temos
. Para
(passo 2) obtivemos
Calcular os termos:
Passo 7
Calcular
usando a fórmula:
Expliquei: multiplica-se o fator radial
pela direção no eixo
dada por
.
Passo 8
Calcular
:
Interpretação: o sinal negativo aparece porque
é negativo (o ponto está a oeste do meridiano de referência).
Passo 9
Calcular
:
primeiro o termo :
primeiro o termo
Agora