Questão 8 (Conversão de Coordenadas)

Um vértice de apoio possui as seguintes coordenadas geodésicas (SIRGAS2000):
  • \varphi=-25^{\circ} 20^{\prime} 45,5000^{\prime \prime}
  • \lambda=-50^{\circ} 10^{\prime} 12,3000^{\prime \prime}
  • \mathrm{h}=720,500 \mathrm{~m} (Altura Geométrica)
Calcule as Coordenadas Cartesianas Geocêntricas (X, Y, Z) deste ponto.
Dica: Utilize os valores de N calculados especificamente para esta latitude.

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas geodésicas (SIRGAS2000) do vértice:
  • \varphi=-25^\circ 20' 45,5000''
  • \lambda=-50^\circ 10' 12,3000''
  • h=720,500\\ \mathrm{m}
O que é pedido: calcular as coordenadas cartesianas geocêntricas (X,Y,Z) correspondentes a esse ponto.
Dados adicionais que vou usar (padrão SIRGAS2000 / GRS80): o semi-eixo maior a e a forma pela qual se obtém o raio de curvatura N. Não há figura nem outra tabela: todas as informações necessárias estão acima.

Passo 2

Converter latitude e longitude de graus-minutos-segundos para graus decimais e em seguida para radianos (sempre explicar por quê): nas fórmulas trigonométricas a entrada é em radianos, por isso a conversão.
Primeiro passar DMS \to graus decimais:
\varphi_{\text{deg}} = -\bigl(25 + \tfrac{20}{60} + \tfrac{45,5}{3600}\bigr) = -25,34597222222^\circ
\lambda_{\text{deg}} = -\bigl(50 + \tfrac{10}{60} + \tfrac{12,3}{3600}\bigr) = -50,17008333333^\circ
Agora graus \to radianos usando o fator \pi/180:
\varphi = \varphi_{\text{deg}}\cdot\frac{\pi}{180} \approx -0,442370657998\\ \mathrm{rad}
\lambda = \lambda_{\text{deg}}\cdot\frac{\pi}{180} \approx -0,875633140167\\ \mathrm{rad}
Observação rápida: \pi/180 converte graus em radianos; sempre mantenha mais casas decimais aqui para evitar perda de precisão nas contas seguintes.

Passo 3

Colocar os parâmetros do elipsóide (SIRGAS2000 usa o elipsóide GRS80) e calcular a excentricidade:
valores (padrão GRS80 / SIRGAS2000)
a = 6378137,0\\ \mathrm{m},\qquad f = \dfrac{1}{298,257222101}\approx 0,003352810681182319
A excentricidade ao quadrado vale
e^{2} = 2f - f^{2} \approx 0,006694380022900788.
Explicação didática: a é o semi-eixo maior (raio equatorial); f é o achatamento; e^{2} mede “o quanto” o elipsóide se afasta da esfera. Esses valores entram na fórmula do raio de curvatura normal N.

Passo 4

Calcular o raio de curvatura em latitude (o N pedido pela dica). A fórmula e a ideia:
N(\varphi)=\dfrac{a}{\sqrt{1-e^{2}\sin^{2}\varphi}}.
Aqui \sin\varphi é o seno da latitude (em radianos). Interpretando: N é o “raio” no plano normal ao elipsóide na latitude dada e aparece nas fórmulas de conversão geodésica → cartesiana.
Calcular \sin\varphi e \cos\varphi (usei os valores em radianos obtidos no passo 2):
\sin\varphi \approx -0,428083133 \qquad \cos\varphi \approx 0,903739468
Agora calcular N:
1 - e^{2}\sin^{2}\varphi \approx 1 - 0,006694380022900788\cdot(0,428083133)^{2} \approx 0,998773260
\sqrt{1 - e^{2}\sin^{2}\varphi}\approx 0,999386617
N = \dfrac{6378137,0}{0,999386617}\approx 6382053,009\\ \mathrm{m}
Explicação: o fator 1-e^{2}\sin^{2}\varphi reduz o denominador quando a latitude afeta a curvatura; para latitudes médias N é ligeiramente maior que a.

Passo 5

Apresentar as fórmulas de conversão final (essas são as fórmulas padrão que deve memorizar para a prova):
X = (N+h)\cos\varphi\cos\lambda, \qquad Y = (N+h)\cos\varphi\sin\lambda, \qquad Z = \bigl(N(1-e^{2})+h\bigr)\sin\varphi.
Explicação das variáveis:
  • N definido no passo anterior (raio de curvatura normal);
  • h é a altura elipsoidal/geométrica dada;
  • \varphi,\lambda são latitude e longitude em radianos;
  • \cos\varphi\cos\lambda, \cos\varphi\sin\lambda projetam o ponto no plano equatorial; o fator em Z usa N(1-e^{2}) porque o elipsóide tem achatamento.

Passo 6

Calcular N+h e os produtos trigonométricos necessários:
N+h \approx 6382053,009 + 720,500 = 6382773,509\\ \mathrm{m}.
Já temos \cos\varphi\approx 0,903739468. Para \lambda (passo 2) obtivemos
\cos\lambda \approx 0,640509838,\qquad \sin\lambda \approx -0,767950024.
Calcular os termos:
\cos\varphi\cos\lambda \approx 0,903739468\cdot 0,640509838 \approx 0,578854022
\cos\varphi\sin\lambda \approx 0,903739468\cdot(-0,767950024)\approx -0,694028022

Passo 7

Calcular X usando a fórmula:
X = (N+h)\cos\varphi\cos\lambda \approx 6382773,509\cdot 0,578854022 \approx 3\,694\,694,116\\ \mathrm{m}.
Expliquei: multiplica-se o fator radial (N+h) pela direção no eixo X dada por \cos\varphi\cos\lambda.

Passo 8

Calcular Y:
Y = (N+h)\cos\varphi\sin\lambda \approx 6382773,509\cdot(-0,694028022)\approx -4\,429\,823,612\\ \mathrm{m}.
Interpretação: o sinal negativo aparece porque \lambda é negativo (o ponto está a oeste do meridiano de referência).

Passo 9

Calcular Z:
primeiro o termo N(1-e^{2})+h:
N(1-e^{2})+h \approx 6382053,009\cdot(1-0,006694380022900788)+720,500 \approx 6\,340\,041,446\\ \mathrm{m}.
Agora
Z = \bigl(N(1-e^{2})+h\bigr)\sin\varphi \approx 6\,340\,041,446\cdot(-0,428083133)\approx -2\,714\,064,740\\ \mathrm{m}.

Resposta

X = 3\,694\,694,116\\ \mathrm{m}
Y = -4\,429\,823,612\\ \mathrm{m}
Z = -2\,714\,064,740\\ \mathrm{m}

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