Questão 9 (Problema Direto Simplificado)
Você está em um ponto
e precisa se deslocar exatamente 100 km
na direção Norte Verdadeiro (Azimute
) ao longo do meridiano.
Considerando que, para deslocamentos exclusivos em latitude, a relação é
:
a) Calcule o valor de
em graus, minutos e segundos.
b) Qual é a latitude final
?
(Para simplificar, utilize o M da latitude inicial
ou faça uma iteração simples com a latitude média).
a) Calcule o valor de
b) Qual é a latitude final
(Para simplificar, utilize o M da latitude inicial
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
- Ponto inicial:
(ou seja, S). - Deslocamento ao longo do meridiano (direção Norte verdadeiro, azimute
): . - Relação aproximada para deslocamentos em latitude:
onde
é a variação de latitude em radianos e
é o raio de curvatura do meridiano na latitude considerada.
As perguntas:
a) Calcular em graus, minutos e segundos.
b) Determinar a latitude final .
a) Calcular
b) Determinar a latitude final
Observação do enunciado: para simplificar usar
na latitude inicial
ou fazer uma iteração simples com a latitude média. Vou primeiro usar
em
(método direto) e em seguida mostrar uma iteração simples para ver o efeito.
Passo 2
Fórmula para o raio de curvatura do meridiano
e constantes da Terra (usarei o elipsóide WGS‑84).
- Fórmula:
onde
-
é o semi‑eixo maior do elipsóide (raio equatorial), -
é a excentricidade ao quadrado do elipsóide, -
é a latitude (em radianos) no ponto onde se avalia . -
Valores WGS‑84 (padrão para levantamentos):
-
, -
(achatamento), -
.
-
Explicando em palavras:
mede “quanto em metros” corresponde a um radiano no sentido meridiano (N‑S) na latitude
. Para deslocamento pequeno em latitude, multiplicar esse
pela variação angular em radianos dá o arco em metros.
Passo 3
Calcular
na latitude inicial
(vai usar o valor absoluto de
para senos, pois aparece
).
- Converter a latitude para radianos:
- Calcular
e :
- Calcular
:
- Elevar à potência
:
- Calcular o numerador
:
- Finalmente:
Comentário rápido: este
está na ordem de
, que é o valor típico do raio de curvatura meridiano nessa latitude.
Passo 4
Calcular
em radianos usando
.
Agora converter radianos para graus:
Passo 5
Converter
em graus, minutos e segundos.
- Graus inteiros:
. - Minutos:
→ inteiros. - Segundos:
.
Arredondando os segundos a uma precisão razoável (por exemplo milésimos de segundo ou centésimos, conforme necessidade), obtenho
(usar
na latitude inicial dá esta variação angular).
Passo 6
Calcular a latitude final
.
Partimos de
e nos deslocamos para Norte, logo somamos
:
Em palavras: a latitude final é
Sul (ou
).
Passo 7
Iteração simples (opcional) — usar a latitude média para refinar
e
.
- Latitude média aproximada:
- Recalcular
com a mesma fórmula (procedimento idêntico ao do Passo 3). Fazendo isso (cálculos como antes) obtém‑se um ligeiramente diferente, por exemplo cerca de (valor aproximado), e então
o que em DMS dá aproximadamente
e
.
- Observação: a diferença entre o cálculo direto (usar
em ) e a iteração é muito pequena (fração de segundo de arco). Para a precisão típica de deslocamentos de 100 km, usar já é adequado; a iteração só muda a última casa de segundo.
Resposta
a)
b)
(ou
)