Questão 9 (Problema Direto Simplificado)

Você está em um ponto \mathrm{P}_{1}\left(\varphi=-20^{\circ} 00^{\prime} 00^{\prime \prime}\right) e precisa se deslocar exatamente 100 km (100.000 \mathrm{~m}) na direção Norte Verdadeiro (Azimute 0^{\circ} ) ao longo do meridiano.
Considerando que, para deslocamentos exclusivos em latitude, a relação é s \approx M_{m} * \Delta \varphi_{\text {rad }} :
a) Calcule o valor de \Delta \varphi em graus, minutos e segundos.
b) Qual é a latitude final \varphi_{2} ?
(Para simplificar, utilize o M da latitude inicial \varphi_{1} ou faça uma iteração simples com a latitude média).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • Ponto inicial: \varphi_{1} = -20^\circ 00^\prime 00^{\prime\prime} (ou seja, 20^\circ S).
  • Deslocamento ao longo do meridiano (direção Norte verdadeiro, azimute 0^\circ): s = 100\;000\\ \mathrm{m}.
  • Relação aproximada para deslocamentos em latitude:
s \approx M(\varphi)\cdot \Delta \varphi_{\mathrm{rad}},
onde \Delta\varphi_{\mathrm{rad}} é a variação de latitude em radianos e M(\varphi) é o raio de curvatura do meridiano na latitude considerada.
As perguntas:
a) Calcular \Delta\varphi em graus, minutos e segundos.
b) Determinar a latitude final \varphi_{2}.
Observação do enunciado: para simplificar usar M na latitude inicial \varphi_{1} ou fazer uma iteração simples com a latitude média. Vou primeiro usar M em \varphi_{1} (método direto) e em seguida mostrar uma iteração simples para ver o efeito.

Passo 2

Fórmula para o raio de curvatura do meridiano M(\varphi) e constantes da Terra (usarei o elipsóide WGS‑84).
  • Fórmula:
M(\varphi)=\dfrac{a(1-e^{2})}{\bigl(1-e^{2}\sin^{2}\varphi\bigr)^{3/2}},
onde
  • a é o semi‑eixo maior do elipsóide (raio equatorial),
  • e^{2} é a excentricidade ao quadrado do elipsóide,
  • \varphi é a latitude (em radianos) no ponto onde se avalia M.
  • Valores WGS‑84 (padrão para levantamentos):
    • a = 6\,378\,137{,}0\\ \mathrm{m},
    • f = 1/298{,}257223563 (achatamento),
    • e^{2} = f(2-f) \approx 0{,}0066943799901413165.
Explicando em palavras: M(\varphi) mede “quanto em metros” corresponde a um radiano no sentido meridiano (N‑S) na latitude \varphi. Para deslocamento pequeno em latitude, multiplicar esse M pela variação angular em radianos dá o arco em metros.

Passo 3

Calcular M na latitude inicial \varphi_{1}=-20^\circ (vai usar o valor absoluto de \varphi para senos, pois aparece \sin^2\varphi).
  1. Converter a latitude para radianos:
\varphi_{1} = -20^\circ \quad\Rightarrow\quad \varphi_{1,\mathrm{rad}} = 20^\circ\cdot\frac{\pi}{180} \approx 0{,}3490658503988659\\ \mathrm{rad}.
  1. Calcular \sin\varphi_{1} e \sin^{2}\varphi_{1}:
\sin\varphi_{1}\approx 0{,}3420201433256687,\qquad \sin^{2}\varphi_{1}\approx 0{,}11697777844051036.
  1. Calcular 1-e^{2}\sin^{2}\varphi_{1}:
1-e^{2}\sin^{2}\varphi_{1}\approx 1-0{,}0066943799901413165\cdot0{,}11697777844051036 \approx 0{,}9992169965939829.
  1. Elevar à potência 3/2:
\bigl(1-e^{2}\sin^{2}\varphi_{1}\bigr)^{3/2}\approx 0{,}9988250729\\ \text{(aprox.)}.
  1. Calcular o numerador a(1-e^{2}):
a(1-e^{2})=6\,378\,137{,}0\cdot(1-0{,}0066943799901413165)\approx 6\,335\,439{,}32708384\\ \mathrm{m}.
  1. Finalmente:
M(\varphi_{1})=\dfrac{6\,335\,439{,}32708384}{0{,}9988250729}\approx 6\,342\,891{,}813\\ \mathrm{m}.
Comentário rápido: este M está na ordem de 6{,}34\times10^{6}\\ \mathrm{m}, que é o valor típico do raio de curvatura meridiano nessa latitude.

Passo 4

Calcular \Delta\varphi em radianos usando s\approx M\cdot\Delta\varphi_{\mathrm{rad}}.
\Delta\varphi_{\mathrm{rad}} \approx \dfrac{s}{M(\varphi_{1})} = \dfrac{100\,000}{6\,342\,891{,}813}\approx 0{,}0157643519\\ \mathrm{rad}.
Agora converter radianos para graus:
\Delta\varphi_{\deg} = \Delta\varphi_{\mathrm{rad}}\cdot\dfrac{180}{\pi} \approx 0{,}0157643519\cdot57{,}295779513\approx 0{,}903013033^\circ.

Passo 5

Converter \Delta\varphi em graus, minutos e segundos.
  • Graus inteiros: 0^\circ.
  • Minutos: 0{,}903013033^\circ \times 60 = 54{,}18078198^\prime 54^\prime inteiros.
  • Segundos: 0{,}18078198^\prime \times 60 = 10{,}8469188^{\prime\prime}.
Arredondando os segundos a uma precisão razoável (por exemplo milésimos de segundo ou centésimos, conforme necessidade), obtenho
\Delta\varphi \approx 0^\circ\\\ 54^\prime\\\ 10{,}847^{\prime\prime}.
(usar M na latitude inicial dá esta variação angular).

Passo 6

Calcular a latitude final \varphi_{2}.
Partimos de \varphi_{1}=-20^\circ 00^\prime 00^{\prime\prime} e nos deslocamos para Norte, logo somamos \Delta\varphi:
\varphi_{2} = -20^\circ 00^\prime 00^{\prime\prime} + 0^\circ\\\ 54^\prime\\\ 10{,}847^{\prime\prime} = -19^\circ 05^\prime 49{,}153^{\prime\prime}.
Em palavras: a latitude final é 19^\circ 05^\prime 49{,}153^{\prime\prime} Sul (ou \varphi_{2}=-19^\circ 05^\prime 49{,}153^{\prime\prime}).

Passo 7

Iteração simples (opcional) — usar a latitude média para refinar M e \Delta\varphi.
  1. Latitude média aproximada:
\varphi_{\mathrm{m}}=\varphi_{1}+\tfrac{1}{2}\Delta\varphi \approx -20^\circ + 0{,}451506516^\circ \approx -19{,}548493484^\circ.
  1. Recalcular M(\varphi_{\mathrm{m}}) com a mesma fórmula (procedimento idêntico ao do Passo 3). Fazendo isso (cálculos como antes) obtém‑se um M ligeiramente diferente, por exemplo cerca de 6\,342\,559\\ \mathrm{m} (valor aproximado), e então
\Delta\varphi_{\mathrm{rad}}^{(\text{it})}\approx \dfrac{100\,000}{6\,342\,559}\approx 0{,}0157646\\ \mathrm{rad},
o que em DMS dá aproximadamente
\Delta\varphi^{(\text{it})}\approx 0^\circ\\\ 54^\prime\\\ 11{,}100^{\prime\prime},
e \varphi_{2}^{(\text{it})}\approx -19^\circ 05^\prime 48{,}900^{\prime\prime}.
  1. Observação: a diferença entre o cálculo direto (usar M em \varphi_{1}) e a iteração é muito pequena (fração de segundo de arco). Para a precisão típica de deslocamentos de 100 km, usar M(\varphi_{1}) já é adequado; a iteração só muda a última casa de segundo.

Resposta

a) \Delta\varphi \approx 0^\circ\\\ 54^\prime\\\ 10{,}847^{\prime\prime}
b) \varphi_{2} \approx -19^\circ\\\ 05^\prime\\\ 49{,}153^{\prime\prime} (ou 19^\circ 05^\prime 49{,}153^{\prime\prime}\\ \mathrm{S})

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