Questão 5: Para uma corda esticada entre dois suportes, duas frequências de onda estacionária sucessivas são 440 Hz e 550 Hz . Se a velocidade das ondas transversais na corda for
, qual é o comprimento da corda?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I)
(J)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I)
(J)
Passo 1
O enunciado dá duas frequências de ondas estacionárias sucessivas e a velocidade das ondas na corda, e pede o comprimento da corda. Dados fornecidos:
- Frequência menor:
. - Frequência maior:
. - Velocidade das ondas na corda:
.
O que se pede:
- Calcular o comprimento
da corda.
Passo 2
Conceito importante (explicado passo a passo): para uma corda presa em suas duas extremidades formam-se modos de vibração discretos (harmônicos) com frequências dadas por
onde:
-
é a frequência do enésimo modo (harmônico), -
é um inteiro positivo ( ), -
é a velocidade das ondas na corda (em ), -
é o comprimento da corda (em ).
Breve derivação bem direta: os modos estacionários têm comprimento de onda
(porque cabem
comprimentos de onda inteiros na corda). Como
, substituindo
obtém-se
.
Passo 3
Relação entre duas frequências sucessivas: se duas frequências dadas são de modos consecutivos
e
, então
Ou seja, a diferença entre frequências sucessivas vale a fundamental
.
Passo 4
Calcular a diferença entre as duas frequências fornecidas:
Passo 5
Usando
, isolamos
:
Substituindo os valores dados:
Simplificando a fração:
Arredondando de forma usual para duas casas relevantes:
Passo 6
Cheque rápido para ver se faz sentido: a fundamental seria
. Então
(modo
) e
(modo
). Isso confirma que as frequências eram de modos consecutivos e que o cálculo está consistente.
Passo 7
Você conseguiu! A ideia-chave para a prova é lembrar que a diferença entre harmônicos consecutivos de uma corda fixa é a frequência fundamental
. Com isso dá pra resolver rápido sem fazer muita conta.