Questão 5: Para uma corda esticada entre dois suportes, duas frequências de onda estacionária sucessivas são 440 Hz e 550 Hz . Se a velocidade das ondas transversais na corda for 365 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, qual é o comprimento da corda?
(A) 2,99 \mathrm{~m}
(B) 2,65 \mathrm{~m}
(C) 1,66 \mathrm{~m}
(D) 1,33 \mathrm{~m}
(E) 0,348 \mathrm{~m}
(F) 2,32 \mathrm{~m}
(G) 1,49 \mathrm{~m}
(H) 0,498 \mathrm{~m}
(I) 3,48 \mathrm{~m}
(J) 0,83 \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado dá duas frequências de ondas estacionárias sucessivas e a velocidade das ondas na corda, e pede o comprimento da corda. Dados fornecidos:
  • Frequência menor: 440\\ \mathrm{Hz}.
  • Frequência maior: 550\\ \mathrm{Hz}.
  • Velocidade das ondas na corda: 365\\ \mathrm{m/s}.
O que se pede:
  • Calcular o comprimento L da corda.

Passo 2

Conceito importante (explicado passo a passo): para uma corda presa em suas duas extremidades formam-se modos de vibração discretos (harmônicos) com frequências dadas por
f_n=\frac{n\,v}{2L},
onde:
  • f_n é a frequência do enésimo modo (harmônico),
  • n é um inteiro positivo ( n=1,2,3,\dots),
  • v é a velocidade das ondas na corda (em \mathrm{m/s}),
  • L é o comprimento da corda (em \mathrm{m}).
Breve derivação bem direta: os modos estacionários têm comprimento de onda \lambda_n=\dfrac{2L}{n} (porque cabem n/2 comprimentos de onda inteiros na corda). Como v=f\lambda, substituindo \lambda_n obtém-se f_n=v/\lambda_n=n v/(2L).

Passo 3

Relação entre duas frequências sucessivas: se duas frequências dadas são de modos consecutivos n e n+1, então
f_{n+1}-f_n=\frac{(n+1)v}{2L}-\frac{n v}{2L}=\frac{v}{2L}.
Ou seja, a diferença entre frequências sucessivas vale a fundamental f_1=\dfrac{v}{2L}.

Passo 4

Calcular a diferença entre as duas frequências fornecidas:
\Delta f = 550\\ \mathrm{Hz}-440\\ \mathrm{Hz}=110\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

Usando \Delta f=\dfrac{v}{2L}, isolamos L:
L=\frac{v}{2\,\Delta f}.
Substituindo os valores dados:
L=\frac{365\\ \mathrm{m/s}}{2\cdot 110\\ \mathrm{Hz}}=\frac{365}{220}\\ \mathrm{m}.
Simplificando a fração:
\frac{365}{220}=\frac{73}{44}\\ \mathrm{m}\approx 1,65909\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma usual para duas casas relevantes:
L\approx 1,66\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Cheque rápido para ver se faz sentido: a fundamental seria f_1=\Delta f=110\\ \mathrm{Hz}. Então 440\\ \mathrm{Hz}=4\cdot110\\ \mathrm{Hz} (modo n=4) e 550\\ \mathrm{Hz}=5\cdot110\\ \mathrm{Hz} (modo n=5). Isso confirma que as frequências eram de modos consecutivos e que o cálculo está consistente.

Passo 7

Você conseguiu! A ideia-chave para a prova é lembrar que a diferença entre harmônicos consecutivos de uma corda fixa é a frequência fundamental f_1=v/(2L). Com isso dá pra resolver rápido sem fazer muita conta.

Resposta

1,66\\ \mathrm{m} (alternativa (C))

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