Questão 4: Um fio com 85 cm de comprimento e massa de 7,75 \mathrm{~g} está preso nas duas extremidades e submetid a uma tensão de 50 N . Qual é o comprimento de onda das ondas de som que ele produz quando vibra em seu 2 harmônico?
(A) 8,29 \mathrm{~m}
(B) 1,18 \mathrm{~m}
(C) 0,829 \mathrm{~m}
(D) 4,74 \mathrm{~m}
(E) 1,97 \mathrm{~m}
(F) 3,16 \mathrm{~m}
(G) 7,11 \mathrm{~m}
(H) 3,55 \mathrm{~m}
(I) 3,95 \mathrm{~m}
(J) 6,32 \mathrm{~m}

Passo 1

Liste clara dos dados fornecidos e do que a questão pede:
  • Comprimento do fio: L = 85\\ \text{cm} = 0,85\\ \mathrm{m}.
  • Massa do fio: m = 7,75\\ \text{g} = 0,00775\\ \mathrm{kg}.
  • Tensão no fio: T = 50\\ \mathrm{N}.
  • O fio está preso nas duas extremidades e vibra no 2º harmônico (ou seja, n=2).
    O que a questão pede: determinar o comprimento de onda \lambda das ondas sonoras que ele produz quando vibra no 2º harmônico. Também foram fornecidas alternativas de múltipla escolha.

Passo 2

Entendendo a física do problema (aula curta e didática):
Quando um fio está preso em ambas as extremidades e vibra, formam-se ondas estacionárias. As condições de contorno exigem que nas extremidades haja nós (deslocamento zero). Isso implica que o comprimento do fio corresponde a um número inteiro de meias-ondas. Em termos matemáticos:
L = n\frac{\lambda}{2},
onde:
  • L é o comprimento do fio,
  • n é o número do harmônico (um inteiro positivo: n=1,2,3,\dots),
  • \lambda é o comprimento de onda correspondente ao harmônico n.
Da equação acima isolamos \lambda:
\lambda = \frac{2L}{n}.
Explicando as variáveis: n conta quantas meias-ondas cabem no fio; para n=1 (fundamental) temos \lambda_1=2L; para n=2 cabem duas meias-ondas, logo \lambda_2=L. Isso é uma consequência direta de que cada meia-onda tem comprimento \lambda/2.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso dado ( n=2):
Substituindo n=2 em \lambda = \dfrac{2L}{n}:
\lambda = \frac{2L}{2} = L.
Como L = 0,85\\ \mathrm{m}, obtemos
\lambda = 0,85\\ \mathrm{m}.
Interpretação em palavras: no segundo harmônico a onda tem exatamente comprimento igual ao comprimento do fio.

Passo 4

Verificação alternativa (calculei velocidade de onda e frequência para checar a consistência — passo extra para fixar a ideia)
  • Densidade linear de massa do fio:
\mu = \frac{m}{L} = \frac{0,00775}{0,85} = 0,009117647\\ \mathrm{kg/m}\\ (\text{aprox. }0,00912\\ \mathrm{kg/m}).
  • Velocidade das ondas no fio:
v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{50}{0,009117647}} \approx \sqrt{5485,7143} \approx 74,07\\ \mathrm{m/s}.
  • Frequência do 2º harmônico:
f_2 = \frac{n v}{2L} = \frac{2\cdot 74,07}{2\cdot 0,85} = \frac{74,07}{0,85} \approx 87,14\\ \mathrm{Hz}.
  • Comprimento de onda pela relação \lambda = \dfrac{v}{f}:
\lambda = \frac{v}{f_2} \approx \frac{74,07}{87,14} \approx 0,85\\ \mathrm{m},
que confirma o resultado do passo anterior. Essa verificação mostra que tudo está consistente: a fórmula geométrica \lambda=2L/n é suficiente e independente de T e \mu para encontrar \lambda.

Passo 5

Comparando com as alternativas: o valor exato calculado é \lambda = 0,85\\ \mathrm{m}. Não há uma alternativa com exatamente 0,85\\ \mathrm{m}. A alternativa mais próxima é a letra (C) com 0,829\\ \mathrm{m}. Como a resposta matemática exata é 0,85\\ \mathrm{m} e a prova exige escolher entre as alternativas fornecidas, a escolha prática e única entre as opções é a alternativa (C).
Força aí — você já entendeu a ideia principal: para harmônico n em corda fixa, \lambda=2L/n; memorizando isso a questão vira quase imediata.

Resposta

\lambda = 0,85\\ \mathrm{m}
Escolha: (C) \,0,829\\ \mathrm{m}

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