Questão 5 - Uma fonte sonora de frequência 200 Hz , move-se a 80 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ao encontro de um observador estacionário. Considere o ar está parado, e que a velocidade do som é de 343 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O comprimento de onda e a frequência que o observador irá medir são respectivamente:
1,32 \mathrm{~m} ; 261 \mathrm{~Hz}
13,2 \mathrm{~m} ; 2611 \mathrm{~Hz}
0,132 \mathrm{~m} ; 26,1 \mathrm{~Hz}
1,58 \mathrm{~m} ; 343 \mathrm{~Hz}

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pergunta o que se pede:
  • Frequência emitida pela fonte: f=200\\ \mathrm{Hz}.
  • Velocidade da fonte (movendo-se ao encontro do observador): v_s=80\\ \mathrm{m/s}.
  • Observador estacionário (logo v_o=0\\ \mathrm{m/s}).
  • Velocidade do som no ar: v=343\\ \mathrm{m/s}.
O enunciado pede:
  • O comprimento de onda que o observador irá medir.
  • A frequência que o observador irá medir.

Passo 2

Explicação didática da fórmula da frequência percebida (efeito Doppler para fonte em movimento e observador em repouso).
Quando a fonte se move em relação ao meio (ar) e o observador está parado, as cristas das ondas são emitidas com um espaçamento diferente do caso em que a fonte está parada. A fórmula que dá a frequência percebida f' neste caso é:
f' = f \cdot \frac{v}{v - v_s},
onde:
  • f é a frequência emitida pela fonte (em \mathrm{Hz}),
  • v é a velocidade das ondas no meio (em \mathrm{m/s}),
  • v_s é a velocidade da fonte (em \mathrm{m/s}), tomada positiva quando a fonte se aproxima do observador,
  • f' é a frequência que o observador situado no meio percebe (em \mathrm{Hz}).
Intuição rápida: se a fonte se aproxima, as cristas “apertam” (menor espaçamento entre cristas), então a frequência percebida aumenta; a fração \dfrac{v}{v-v_s} é maior que 1 quando v_s>0.

Passo 3

Calcular a frequência percebida usando a fórmula acima, mostrando as contas passo a passo.
Primeiro calcule o denominador:
v - v_s = 343 - 80 = 263\\ \mathrm{m/s}.
Agora aplique a fórmula:
f' = 200 \cdot \frac{343}{263}.
Calcule a razão numérica:
\frac{343}{263}\approx 1,304\ldots
Portanto
f' \approx 200 \times 1,304\ldots \approx 260,84\\ \mathrm{Hz}.
Arredondando de maneira adequada para três algarismos significativos, obtemos f'\approx 261\\ \mathrm{Hz}.

Passo 4

Explicação didática do comprimento de onda percebido e como calculá-lo.
O comprimento de onda \lambda no meio (ar) é o espaçamento entre cristas medido no referencial do meio. Uma forma simples de encontrar \lambda é pensar no período de emissão T=\dfrac{1}{f}: durante um período T a fonte avança uma distância v_s T em direção ao observador, e em T a frente de onda viaja vT. Assim o espaçamento entre cristas (o comprimento de onda efetivo na direção do observador) é
\lambda = vT - v_s T = (v - v_s)T.
Como T=\dfrac{1}{f}, obtemos a fórmula útil:
\lambda = \frac{v - v_s}{f}.
Outra maneira equivalente de obter \lambda é usar que, para o observador, a onda se propaga com velocidade v e frequência percebida f', logo \lambda = \dfrac{v}{f'}. As duas expressões são matematicamente consistentes.

Passo 5

Calcular o comprimento de onda usando \lambda = \dfrac{v - v_s}{f} e verificar com \lambda = \dfrac{v}{f'}.
Usando \lambda = \dfrac{v - v_s}{f}:
\lambda = \frac{343 - 80}{200} = \frac{263}{200} = 1,315\\ \mathrm{m}.
Arredondando para duas casas decimais (como aparece nas alternativas), \lambda \approx 1,32\\ \mathrm{m}.
Verificação usando \lambda = \dfrac{v}{f'} com o f' calculado no Passo 3:
\lambda = \frac{343}{260,84\ldots}\approx 1,3149\\ \mathrm{m},
o que confirma o valor anterior ( \approx 1,315\\ \mathrm{m}).

Passo 6

Resumo dos resultados numéricos obtidos:
  • Frequência percebida: f'\approx 261\\ \mathrm{Hz}.
  • Comprimento de onda percebido: \lambda\approx 1,32\\ \mathrm{m}.

Resposta

1,32\\ \mathrm{m} ;\\\ 261\\ \mathrm{Hz}

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