Questão 4. (2,0 pt) Um corpo de massa m=2 \mathrm{~kg} está preso a uma extremidade de uma mola, com constante de elasticidade \mu=10 U.M. A outra extremidade da mola está presa a parede e sabendo que o corpo está em cima de uma superfície com coeficiente de atrito \kappa=4 U.M… Sabendo que o corpo foi deslocado x metros, determine a função que descreve o movimento do corpo.

Passo 1

O enunciado descreve um oscilador massa–mola com amortecimento viscoso, em que a massa é m=2,kg, a constante elástica é \mu=10 e o coeficiente de atrito (viscoso) é \kappa=4. O conteúdo necessário é a modelagem via equação diferencial linear de segunda ordem amortecida e sua solução, para obter x(t).

Passo 2

Pela segunda lei de Newton, \sum F = m\ddot x. As forças atuantes são a força elástica -\mu x e a força de amortecimento viscoso -\kappa\dot x. Logo,
-\mu x \;-\;\kappa\dot x \;=\; m\ddot x.
Reorganizando,
m\ddot x + \kappa\dot x + \mu x = 0.

Passo 3

Substituindo m=2, \kappa=4 e \mu=10 obtemos
2\ddot x + 4\dot x + 10x = 0.
Dividindo por 2, a forma padrão é
\ddot x + 2\dot x + 5x = 0.

Passo 4

A equação característica associada é
r^2 + 2r + 5 = 0,
cuja discrimante é \Delta = 2^2 - 4\cdot5 = -16. As raízes são
r = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = -1 \pm 2\,i.
Como as raízes são complexas conjugadas, a solução geral é
x(t) = e^{-t}\bigl(C_1\cos(2t) + C_2\sin(2t)\bigr).

Passo 5

O enunciado diz que o corpo foi deslocado x metros e solto do repouso, portanto
x(0)=x,\quad \dot x(0)=0.
Dessas condições segue C_1 = x e
\dot x(t)=e^{-t}\bigl(-C_1\cos2t -C_2\sin2t\bigr)+e^{-t}\bigl(-2C_1\sin2t+2C_2\cos2t\bigr),
e em t=0 -C_1+2C_2=0\Rightarrow C_2=\tfrac{x}{2}. Assim,
x(t) = x\,e^{-t}\!\Bigl(\cos2t + \tfrac{1}{2}\sin2t\Bigr).

Resposta

x(t) = x\,e^{-t}\Bigl(\cos2t + \tfrac{1}{2}\sin2t\Bigr).

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