Considere a seguinte EDO de segunda ordem.
Questão 2.
x^{\prime \prime}-6 x^{\prime}+9 x=\operatorname{sen}(2 t)
a) (0,5 pt) Defina solução geral para uma EDO homogênea de segunda ordem.
b) (1,5 pt) Determine a solução geral para a EDO homogênea associada à (2).
c) (1,5 pt) Determine a solução geral para (2).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO não-homogênea de segunda ordem
x'' - 6x' + 9x = \operatorname{sen}(2t),
dividindo em três partes:
– (a) definir o que é a solução geral de uma EDO homogênea de segunda ordem;
– (b) achar a solução geral da EDO homogênea associada;
– (c) achar a solução geral da EDO completa usando coeficientes não determinados.

Passo 2

Para uma EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes,
x'' + p\,x' + q\,x = 0,
a teoria diz que se encontrarmos duas soluções linearmente independentes y_1(t) e y_2(t), então a solução geral é
x_h(t) = C_1\,y_1(t) + C_2\,y_2(t),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais.

Passo 3

Associe a homogênea
x'' - 6x' + 9x = 0
e escreva a equação característica
r^2 - 6r + 9 = 0.
Note que (r-3)^2 = 0 tem raiz dupla r = 3. Logo, duas soluções fundamentais são
y_1(t) = e^{3t},\qquad y_2(t) = t\,e^{3t},
e a solução geral da homogênea é
x_h(t) = C_1\,e^{3t} + C_2\,t\,e^{3t}.

Passo 4

Para a solução particular x_p(t) da EDO não-homogênea, tentamos o palpite
x_p(t) = A\cos(2t) + B\operatorname{sen}(2t),
pois o termo forçante é \operatorname{sen}(2t) e 2 não coincide com a raiz r=3 (não há ressonância).

Passo 5

Calcule derivadas:
x_p' = -2A\operatorname{sen}(2t) + 2B\cos(2t), \qquad x_p'' = -4A\cos(2t) - 4B\operatorname{sen}(2t).
Substituindo em x'' - 6x' + 9x obtém-se, agrupando coeficientes de \cos(2t) e \operatorname{sen}(2t),
(5A - 12B)\cos(2t) + (12A + 5B)\operatorname{sen}(2t) = 0\cdot\cos(2t) + 1\cdot\operatorname{sen}(2t).
Isso gera o sistema
\begin{cases} 5A - 12B = 0,\\\\ 12A + 5B = 1. \end{cases}

Passo 6

Resolva o sistema: da primeira equação A = \tfrac{12}{5}B. Substituindo na segunda,
12\bigl(\tfrac{12}{5}B\bigr) + 5B = 1 \;\Longrightarrow\; \tfrac{144+25}{5}B = 1 \;\Longrightarrow\; B = \tfrac{5}{169},
e então
A = \tfrac{12}{5}\,B = \tfrac{12}{169}.
Logo
x_p(t) = \tfrac{12}{169}\cos(2t) + \tfrac{5}{169}\operatorname{sen}(2t).

Passo 7

A solução geral da EDO completa é a soma da homogênea com a particular:
x(t) = x_h(t) + x_p(t) = C_1 e^{3t} + C_2 t e^{3t} + \tfrac{12}{169}\cos(2t) + \tfrac{5}{169}\operatorname{sen}(2t).

Resposta

a) Para uma EDO homogênea de segunda ordem x''+p\,x'+q\,x=0, a solução geral é
x_h(t)=C_1\,y_1(t)+C_2\,y_2(t),
onde y_1,y_2 são duas soluções linearly independentes.
b) A homogênea associada é x''-6x'+9x=0 com equação característica (r-3)^2=0, de modo que
x_h(t)=C_1e^{3t}+C_2\,t\,e^{3t}.
c) A solução geral da EDO não-homogênea é
x(t)=C_1e^{3t}+C_2t e^{3t}+\tfrac{12}{169}\cos(2t)+\tfrac{5}{169}\operatorname{sen}(2t).

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