a) (0,5 pt) Defina solução geral para uma EDO homogênea de segunda ordem.
b) (1,5 pt) Determine a solução geral para a EDO homogênea associada à (2).
c) (1,5 pt) Determine a solução geral para (2).
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO não-homogênea de segunda ordem
x'' - 6x' + 9x = \operatorname{sen}(2t),
dividindo em três partes:
– (a) definir o que é a solução geral de uma EDO homogênea de segunda ordem;
– (b) achar a solução geral da EDO homogênea associada;
– (c) achar a solução geral da EDO completa usando coeficientes não determinados.
Passo 2
Para uma EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes,
x'' + p\,x' + q\,x = 0,
a teoria diz que se encontrarmos duas soluções linearmente independentes y_1(t) e y_2(t), então a solução geral é
x_h(t) = C_1\,y_1(t) + C_2\,y_2(t),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais.
Passo 3
Associe a homogênea
x'' - 6x' + 9x = 0
e escreva a equação característica
r^2 - 6r + 9 = 0.
Note que (r-3)^2 = 0 tem raiz dupla r = 3. Logo, duas soluções fundamentais são
y_1(t) = e^{3t},\qquad y_2(t) = t\,e^{3t},
e a solução geral da homogênea é
x_h(t) = C_1\,e^{3t} + C_2\,t\,e^{3t}.
Passo 4
Para a solução particular x_p(t) da EDO não-homogênea, tentamos o palpite
x_p(t) = A\cos(2t) + B\operatorname{sen}(2t),
pois o termo forçante é \operatorname{sen}(2t) e 2 não coincide com a raiz r=3 (não há ressonância).