Considere a seguinte EDO de segunda ordem.
Questão 3.
a) (0,5 \mathrm{pt}) Mostre que \varphi_{1}(t)=t^{3} é uma solução para a EDO homogênea associada à (3).
b) (1,5 pt) Determine uma solução para a EDO homogênea associada à (3), que seja l.i. com \varphi_{2}.
c) ((1,5)) Determine a solução geral para (3).
Questão 3.
b) (1,5 pt) Determine uma solução para a EDO homogênea associada à (3), que seja l.i. com \varphi_{2}.
c) ((1,5)) Determine a solução geral para (3).
Passo 1
O enunciado dá a EDO de segunda ordem
e pede:
– (a) mostrar que resolve a homogênea associada;
– (b) encontrar outra solução da homogênea, linearmente independente de ;
– (c) obter a solução geral da EDO completa.
O conteúdo necessário é a resolução de equações de Euler–Cauchy (para a parte homogênea) e método dos coeficientes determinados adaptado a Euler (para a parte particular).
– (a) mostrar que
– (b) encontrar outra solução da homogênea, linearmente independente de
– (c) obter a solução geral da EDO completa.
O conteúdo necessário é a resolução de equações de Euler–Cauchy (para a parte homogênea) e método dos coeficientes determinados adaptado a Euler (para a parte particular).
Passo 2
Verificamos que
satisfaz a homogênea
Calculando:
então
Passo 3
Para achar
linearmente independente de
usamos o fato de que a homogênea é de Euler–Cauchy. O polinômio característico é
com raízes
e
. A raiz
gera
e
gera
que é claramente l.i. de
.
Passo 4
Agora procuramos uma solução particular
de
Para equações de Euler com RHS do tipo
, usa-se a regra: se
não é raiz do polinômio característico, tenta-se
; se
é raiz simples, multiplica-se por
; se for raiz de multiplicidade
, multiplica-se por
.
Aqui queremos gerar termos em e em constante
.
Aqui queremos gerar termos em
- Para o termo em
, leva a , mas é raiz simples, logo suponhamos
- Para o termo constante,
leva a , que não é raiz, logo suponhamos
Portanto
Passo 5
Aplicamos o operador
. Para Euler sabe-se geral:
e
- Para
, dá e , logo
Para que esse gere o
do RHS, basta
, ou seja
.
2. Para ,
dá
, então
2. Para
Para que isso gere o
do RHS, impomos
, logo
.
Assim
Passo 6
A solução geral da EDO completa é a soma da homogênea com a particular: