Considere a seguinte EDO de segunda ordem.
Questão 3.
y^{\prime \prime}+\frac{2}{t} y^{\prime}-\frac{12}{t^{2}} y=7 t+14
a) (0,5 \mathrm{pt}) Mostre que \varphi_{1}(t)=t^{3} é uma solução para a EDO homogênea associada à (3).
b) (1,5 pt) Determine uma solução para a EDO homogênea associada à (3), que seja l.i. com \varphi_{2}.
c) ((1,5)) Determine a solução geral para (3).

Passo 1

O enunciado dá a EDO de segunda ordem
y'' + \frac{2}{t}\,y' - \frac{12}{t^2}\,y = 7t + 14
e pede:
– (a) mostrar que \varphi_1(t)=t^3 resolve a homogênea associada;
– (b) encontrar outra solução da homogênea, linearmente independente de \varphi_1;
– (c) obter a solução geral da EDO completa.
O conteúdo necessário é a resolução de equações de Euler–Cauchy (para a parte homogênea) e método dos coeficientes determinados adaptado a Euler (para a parte particular).

Passo 2

Verificamos que \varphi_1(t)=t^3 satisfaz a homogênea
y'' + \frac{2}{t}\,y' - \frac{12}{t^2}\,y = 0.
Calculando:
\varphi_1'=3t^2,\quad \varphi_1''=6t,
então
\varphi_1'' + \frac{2}{t}\,\varphi_1' - \frac{12}{t^2}\,\varphi_1 =6t + \frac{2}{t}\cdot 3t^2 - \frac{12}{t^2}\cdot t^3 =6t +6t -12t =0.

Passo 3

Para achar \varphi_2 linearmente independente de \varphi_1 usamos o fato de que a homogênea é de Euler–Cauchy. O polinômio característico é
m(m-1)+2m-12 = m^2 + m - 12 = (m-3)(m+4)=0,
com raízes m=3 e m=-4. A raiz m=3 gera \varphi_1(t)=t^3 e m=-4 gera
\varphi_2(t)=t^{-4},
que é claramente l.i. de \varphi_1.

Passo 4

Agora procuramos uma solução particular y_p de
y'' + \frac{2}{t}\,y' - \frac{12}{t^2}\,y = 7t + 14.
Para equações de Euler com RHS do tipo t^k, usa-se a regra: se k não é raiz do polinômio característico, tenta-se A\,t^{k+2}; se k é raiz simples, multiplica-se por \ln t; se for raiz de multiplicidade s, multiplica-se por (\ln t)^s.
Aqui queremos gerar termos em t k=1 e em constante t^0.
  • Para o termo em t, k=1 leva a m=k+2=3, mas m=3 é raiz simples, logo suponhamos
y_{p1}(t)=C\,t^3\ln t.
  • Para o termo constante, k=0 leva a m=2, que não é raiz, logo suponhamos
y_{p2}(t)=B\,t^2.
Portanto
y_p(t)=C\,t^3\ln t + B\,t^2.

Passo 5

Aplicamos o operador L[y]=y'' + \frac{2}{t}y' - \frac{12}{t^2}y. Para Euler sabe-se geral:
L[t^m]=P(m)\,t^{m-2},\quad P(m)=m^2+m-12,
e
L[t^m\ln t]=P(m)\,t^{m-2}\ln t + P'(m)\,t^{m-2},\quad P'(m)=2m+1.
  1. Para y_{p1}=C\,t^3\ln t, m=3 P(3)=0 e P'(3)=7, logo
L[y_{p1}]=C\cdot7\,t^{1}.
Para que esse gere o 7t do RHS, basta 7C\,t=7t, ou seja C=1.
2. Para y_{p2}=B\,t^2, m=2 P(2)=2^2+2-12=-6, então
L[y_{p2}]=B\cdot(-6)\,t^{0}=-6B.
Para que isso gere o +14 do RHS, impomos -6B=14, logo B=-\tfrac{7}{3}.
Assim
y_p(t)=t^3\ln t - \frac{7}{3}\,t^2.

Passo 6

A solução geral da EDO completa é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=C_1\,t^3 + C_2\,t^{-4} + \Bigl(t^3\ln t - \tfrac{7}{3}\,t^2\Bigr).

Resposta

y(t)=C_1\,t^3 + C_2\,t^{-4} + t^3\ln t - \frac{7}{3}\,t^2.

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