Isso faz dessa família uma base conveniente para expandir funções definidas em [0,2] que são nulas em x=2 (ou em problemas com condições parecidas). Mesmo que f seja apenas zero em 1<x<2, a família com índices ímpares será ortogonal em [0,2] e aparece nas alternativas, então vamos usar essa base.
Propriedade de ortogonalidade e norma rápida (útil para obter coeficientes): para m e n inteiros positivos,
\int_{0}^{2}\cos\!\bigl(\tfrac{(2m-1)\pi x}{4}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{(2n-1)\pi x}{4}\bigr)\,dx=0\quad\text{se }m\ne n,
Essa é uma forma correta e direta da expansão; agora vamos manipular o fator trigonométrico para colocá-lo na mesma forma que aparece nas alternativas propostas.
Passo 5
Converter \sin\!\bigl(\tfrac{(2n-1)\pi}{4}\bigr) para uma expressão com cosseno (para comparar com as alternativas).