Questão 1

Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
A série em cosenos mista de Fourier de f(x)=\left\{\begin{array}{l}1,0<x<1, \\\\ 0,1<x<2\end{array}\right., em [0,2] é:
◯ a. \quad-\frac{4}{\pi} \sum_{n \geq 1} \frac{1}{2 n-1} \cos \frac{(2 n+1) \pi}{4} \cos \frac{(2 n-1) \pi x}{4}
◯ b. \quad \frac{4}{\pi} \sum_{n \geq 1} \frac{1}{2 n-1} \cos \frac{(2 n+1) \pi}{4} \cos \frac{(2 n-1) \pi x}{4}
◯ C. \frac{4}{\pi} \sum_{n \geq 1} \frac{1}{2 n-1} \cos \frac{(2 n-1) \pi}{4} \cos \frac{(2 n-1) \pi x}{4}
◯ d. \quad-\frac{4}{\pi} \sum_{n \geq 1} \frac{1}{2 n-1} \cos \frac{(2 n-1) \pi}{4} \cos \frac{(2 n-1) \pi x}{4}

Passo 1

O enunciado dá a função definida em [0,2]\) por \[f(x)=\begin{cases} 1, & 0<x<1,\\[4pt] 0, & 1<x<2, \end{cases}
e pede qual das alternativas corresponde à série em cosenos mista de Fourier de f\] em \([0,2].
Informações relevantes dadas:
  • A função vale 1 no intervalo (0,1) e 0 em (1,2).
  • Quer-se uma expansão em funções cossenoidais que aparecem nas alternativas, que usam as frequências \dfrac{(2n-1)\pi}{4}.
  • As alternativas apresentam séries do tipo \sum_{n\ge1} \text{(coeficiente)}\cdot\cos\!\bigl(\dfrac{(2n-1)\pi x}{4}\bigr).]

Passo 2

Escolha do tipo de série e base ortogonal (explicação didática).
  • Observação prática: as funções \cos\!\bigl(\dfrac{(2n-1)\pi x}{4}\bigr) têm a propriedade de anular em x=2, porque
\cos\!\bigl(\tfrac{(2n-1)\pi}{4}\cdot 2\bigr)=\cos\!\bigl(\tfrac{(2n-1)\pi}{2}\bigr)=0.
Isso faz dessa família uma base conveniente para expandir funções definidas em [0,2] que são nulas em x=2 (ou em problemas com condições parecidas). Mesmo que f seja apenas zero em 1<x<2, a família com índices ímpares será ortogonal em [0,2] e aparece nas alternativas, então vamos usar essa base.
  • Propriedade de ortogonalidade e norma rápida (útil para obter coeficientes): para m e n inteiros positivos,
\int_{0}^{2}\cos\!\bigl(\tfrac{(2m-1)\pi x}{4}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{(2n-1)\pi x}{4}\bigr)\,dx=0\quad\text{se }m\ne n,
e, no caso m=n,
\int_{0}^{2}\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{(2n-1)\pi x}{4}\bigr)\,dx =1,
pois, explicitamente,
\int_{0}^{2}\cos^{2}(ax)\,dx=\Bigl[\tfrac{x}{2}+\tfrac{\sin(2ax)}{4a}\Bigr]_{0}^{2} =1+\frac{\sin(4a)}{4a},
e aqui a=\dfrac{(2n-1)\pi}{4} \sin(4a)=\sin((2n-1)\pi)=0, logo a integral vale 1. Assim a família está normalizada (norma 1) em [0,2].
  • Portanto a expansão adequada tem a forma
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} c_n\cos\!\bigl(\tfrac{(2n-1)\pi x}{4}\bigr),
com os coeficientes dados simplesmente por
c_n=\int_{0}^{2} f(x)\cos\!\bigl(\tfrac{(2n-1)\pi x}{4}\bigr)\,dx,
porque \int_0^2 \phi_n^2=1.

Passo 3

Cálculo explícito dos coeficientes c_n.
  • Como f(x)=1 só em (0,1) e é zero em (1,2), a integral reduz-se a
c_n=\int_{0}^{1}\cos\!\bigl(\tfrac{(2n-1)\pi x}{4}\bigr)\,dx.
  • Vamos integrar:
\int \cos\!\bigl(\tfrac{(2n-1)\pi x}{4}\bigr)\,dx =\frac{4}{(2n-1)\pi}\sin\!\bigl(\tfrac{(2n-1)\pi x}{4}\bigr).
Avaliaremos de 0 a 1:
c_n=\frac{4}{(2n-1)\pi}\sin\!\bigl(\tfrac{(2n-1)\pi}{4}\bigr)-\underbrace{\frac{4}{(2n-1)\pi}\sin(0)}_{=0} =\frac{4}{(2n-1)\pi}\sin\!\bigl(\tfrac{(2n-1)\pi}{4}\bigr).

Passo 4

Escrever a série com os coeficientes obtidos.
  • Substituindo c_n na série:
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{(2n-1)\pi}\sin\!\bigl(\tfrac{(2n-1)\pi}{4}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{(2n-1)\pi x}{4}\bigr).
Essa é uma forma correta e direta da expansão; agora vamos manipular o fator trigonométrico para colocá-lo na mesma forma que aparece nas alternativas propostas.

Passo 5

Converter \sin\!\bigl(\tfrac{(2n-1)\pi}{4}\bigr) para uma expressão com cosseno (para comparar com as alternativas).
  • Use a identidade trigonométrica
\cos\!\bigl(\tfrac{(2n+1)\pi}{4}\bigr)=\cos\!\bigl(\tfrac{(2n-1)\pi}{4}+\tfrac{\pi}{2}\bigr) =-\sin\!\bigl(\tfrac{(2n-1)\pi}{4}\bigr).
  • Assim
\sin\!\bigl(\tfrac{(2n-1)\pi}{4}\bigr)=-\cos\!\bigl(\tfrac{(2n+1)\pi}{4}\bigr).
  • Substituindo isso em c_n
c_n=\frac{4}{(2n-1)\pi}\sin\!\bigl(\tfrac{(2n-1)\pi}{4}\bigr) =-\frac{4}{(2n-1)\pi}\cos\!\bigl(\tfrac{(2n+1)\pi}{4}\bigr).
  • Portanto a série pode ser escrita como
f(x)=-\frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1}\cos\!\bigl(\tfrac{(2n+1)\pi}{4}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{(2n-1)\pi x}{4}\bigr),
que coincide exatamente com a alternativa (a).

Resposta

a.

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