Um drone está a 30 metros de altura e é observado por uma câmera no chão com ângulo de elevação de
.
a) A que distância horizontal está o drone?
b) Qual a distância em linha reta do observador ao drone?
a) A que distância horizontal está o drone?
b) Qual a distância em linha reta do observador ao drone?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
- Informação: o drone está a uma altura de
acima do solo. - Informação: o ângulo de elevação medido pela câmera no chão é
. - Pergunta (a): qual a distância horizontal entre o observador e a vertical do drone (ou seja, a projeção no solo)?
- Pergunta (b): qual a distância em linha reta (reta de visão) entre o observador e o drone?
Passo 2
Modelagem geométrica (triângulo retângulo).
Desenhe mentalmente (ou no rascunho) um triângulo retângulo cujos vértices são: observador no chão, ponto no solo diretamente abaixo do drone, e o drone. Neste triângulo:
Desenhe mentalmente (ou no rascunho) um triângulo retângulo cujos vértices são: observador no chão, ponto no solo diretamente abaixo do drone, e o drone. Neste triângulo:
- a altura do drone é o cateto oposto ao ângulo de elevação; chamo-a de
, logo . - a distância horizontal no solo é o cateto adjacente; chamo-a de
. - a distância em linha reta observador–drone é a hipotenusa; chamo-a de
. - o ângulo de elevação no observador é
.
Resumo das variáveis:
Passo 3
Relação trigonométrica para achar a distância horizontal
.
A definição de tangente num triângulo retângulo é:
A definição de tangente num triângulo retângulo é:
Aqui
e
. Então
Agora precisamos do valor de
. Um modo rápido é lembrar do triângulo especial
, cujas razões de lados (cateto menor : cateto maior : hipotenusa) são
. Nele:
Substituindo:
Valor aproximado (usa-se
):
Passo 4
Relação trigonométrica para achar a distância em linha reta
.
A definição de seno num triângulo retângulo é:
A definição de seno num triângulo retângulo é:
Portanto
Do triângulo
sabe-se que
. Logo
Passo 5
Verificação alternativa (Pitagoras).
Como e
, pela fórmula de Pitágoras a hipotenusa é
Como
confirmando o resultado anterior.
Passo 6
Resumo dos passos práticos para a prova (dicas rápidas):
- Identifique o triângulo retângulo e rotule: altura = oposto, horizontal = adjacente, linha de visão = hipotenusa.
- Use
para relacionar oposto e adjacente: . - Use
para relacionar oposto e hipotenusa: . - Lembre dos valores especiais:
, . Isso economiza tempo em prova.