Um drone está a 30 metros de altura e é observado por uma câmera no chão com ângulo de elevação de 30^{\circ}.
a) A que distância horizontal está o drone?
b) Qual a distância em linha reta do observador ao drone?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Informação: o drone está a uma altura de \,30\\ \mathrm{m}\, acima do solo.
  • Informação: o ângulo de elevação medido pela câmera no chão é \,30^\circ.
  • Pergunta (a): qual a distância horizontal entre o observador e a vertical do drone (ou seja, a projeção no solo)?
  • Pergunta (b): qual a distância em linha reta (reta de visão) entre o observador e o drone?

Passo 2

Modelagem geométrica (triângulo retângulo).
Desenhe mentalmente (ou no rascunho) um triângulo retângulo cujos vértices são: observador no chão, ponto no solo diretamente abaixo do drone, e o drone. Neste triângulo:
  • a altura do drone é o cateto oposto ao ângulo de elevação; chamo-a de \,h, logo \,h=30\\ \mathrm{m}.
  • a distância horizontal no solo é o cateto adjacente; chamo-a de \,x.
  • a distância em linha reta observador–drone é a hipotenusa; chamo-a de \,d.
  • o ângulo de elevação no observador é \,\theta=30^\circ.
Resumo das variáveis:
h=30\\ \mathrm{m},\qquad x=\text{distância horizontal (procura)},\qquad d=\text{distância em linha reta (procura)},\qquad \theta=30^\circ.ââ

Passo 3

Relação trigonométrica para achar a distância horizontal x.
A definição de tangente num triângulo retângulo é:
\tan(\theta)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}=\frac{h}{x}.
Aqui \theta=30^\circ e h=30\\ \mathrm{m}. Então
\tan(30^\circ)=\frac{30}{x}\quad\Rightarrow\quad x=\frac{30}{\tan(30^\circ)}.
Agora precisamos do valor de \tan(30^\circ). Um modo rápido é lembrar do triângulo especial 30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ, cujas razões de lados (cateto menor : cateto maior : hipotenusa) são 1:\sqrt{3}:2. Nele:
\tan(30^\circ)=\frac{\text{cateto oposto a }30^\circ}{\text{cateto adjacente a }30^\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Substituindo:
x=\frac{30}{1/\sqrt{3}}=30\sqrt{3}.
Valor aproximado (usa-se \sqrt{3}\approx1{,}73205):
x=30\sqrt{3}\approx30\cdot1{,}73205\approx51{,}96\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Relação trigonométrica para achar a distância em linha reta d.
A definição de seno num triângulo retângulo é:
\sin(\theta)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{h}{d}.
Portanto
d=\frac{h}{\sin(\theta)}=\frac{30}{\sin(30^\circ)}.
Do triângulo 30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ sabe-se que \sin(30^\circ)=\tfrac{1}{2}. Logo
d=\frac{30}{1/2}=60\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Verificação alternativa (Pitagoras).
Como x=30\sqrt{3} e h=30, pela fórmula de Pitágoras a hipotenusa é
d=\sqrt{h^{2}+x^{2}}=\sqrt{30^{2}+(30\sqrt{3})^{2}} =\sqrt{900+2700}=\sqrt{3600}=60\\ \mathrm{m},
confirmando o resultado anterior.

Passo 6

Resumo dos passos práticos para a prova (dicas rápidas):
  • Identifique o triângulo retângulo e rotule: altura = oposto, horizontal = adjacente, linha de visão = hipotenusa.
  • Use \tan para relacionar oposto e adjacente: x=\dfrac{h}{\tan\theta}.
  • Use \sin para relacionar oposto e hipotenusa: d=\dfrac{h}{\sin\theta}.
  • Lembre dos valores especiais: \sin(30^\circ)=\tfrac{1}{2}, \tan(30^\circ)=\tfrac{1}{\sqrt{3}}. Isso economiza tempo em prova.

Resposta

30\sqrt{3}\\ \mathrm{m}\approx51{,}96\\ \mathrm{m}
60\\ \mathrm{m}

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