Seja f(x, y)=x^{3}-x^{2}-x y^{2}+x y.
(a) Determine os pontos de máximos locais, pontos de mínimos locais e pontos de sela em \mathbb{R}^{2}.
(b) Determine o valor máximo e mínimo globais na região D limitada pelo triângulo de vértices nos pontos (0,0),(0,1) e (1 / 2,1 / 2).
Passo 1
O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}
f(x,y)=x^{3}-x^{2}-x y^{2}+x y
e pede duas coisas:
(a) determinar os pontos de máximo local, mínimo local e pontos de sela em \mathbb{R}^{2};
(b) na região fechada D que é o triângulo com vértices (0,0), (0,1) e \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right), determinar o valor máximo e mínimo globais de f (e onde eles ocorrem).
Informações relevantes fornecidas:
A função é polinomial (contínua e diferenciável em todo \mathbb{R}^2), portanto em D (fechado e limitado) atinge máximo e mínimo.
O triângulo D tem as arestas dadas por x=0, y=x e y=1-x. Para x em [0,\tfrac{1}{2}] temos x\le y\le 1-x.
Passo 2
Encontrar pontos críticos (estacionários) — revisão e cálculo das derivadas parciais.
Lembrete rápido (o que é necessário): um ponto crítico ocorre quando o gradiente é zero, isto é, quando as derivadas parciais se anulam:
Logo \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right) é ponto de sela.
Resumo da classificação (sem repetir a resposta final compacta): há exatamente um máximo local em \left(\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{2}\right) e três pontos de sela em (0,0),(0,1),\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right). Não apareceram mínimos locais isolados.
Passo 6
Agora resolvo (b): extremos globais de f na região triangular D. Estratégia: como D é fechado e limitado, f atinge máximo e mínimo. Os candidatos são:
pontos críticos no interior de D;
pontos críticos na fronteira (pontos onde a restrição tem pontos estacionários);
vértices.
Identifique quais dos pontos críticos já encontrados estão em D. O triângulo D pode ser descrito por
0\le x\le \tfrac{1}{2},\qquad x\le y\le 1-x.
Dos pontos críticos encontrados:
(0,0) e (0,1) são vértices (estão na fronteira).
\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right) é vértice (fronteira).
\left(\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{2}\right) satisfaz 0<\tfrac{1}{6}<\tfrac{1}{2} e \tfrac{1}{6}\le \tfrac{1}{2}\le 1-\tfrac{1}{6}, portanto está no interior de D.
Logo há um único ponto crítico interior: \left(\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{2}\right).
Passo 7
Avaliação de f nas arestas (fronteira) e nos vértices.
Aresta \overline{AB} com x=0 (entre (0,0) e (0,1)):
f(0,y)=0^{3}-0^{2}-0\cdot y^{2}+0\cdot y=0.
Portanto f\equiv 0 nesta aresta.
Aresta \overline{AC} com y=x (entre (0,0) e (\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2})):
f(x,x)=x^{3}-x^{2}-x x^{2}+x x = x^{3}-x^{2}-x^{3}+x^{2}=0.
Logo f\equiv 0 nesta aresta.
Aresta \overline{BC} com y=1-x (entre (0,1) e (\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2})):
f(x,1-x)=x^{3}-x^{2}-x(1-x)^{2}+x(1-x).
Desenvolvendo (1-x)^{2}=1-2x+x^{2} e simplificando, todos os termos se cancelam, dando f(x,1-x)=0.
Portanto f\equiv 0 também nesta aresta.
Conclusão: em toda a fronteira de D (incluindo os vértices) vale f=0.
Passo 8
Avaliação de f no único ponto crítico interior \left(\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{2}\right).
Já sabemos que f=0 em toda a fronteira e que \left(\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{2}\right) é um máximo local com valor positivo \tfrac{1}{54}. Resta verificar se existem pontos interiores com valor menor que 0 (para decidir o mínimo global). Vou mostrar que na verdade f(x,y)\ge 0 para todo (x,y)\in D, o que garante que o mínimo global em D é 0 (atingido na fronteira).
No triângulo D temos 0\le x\le \tfrac{1}{2} e x\le y\le 1-x. Observe que
h(y)-h(x)=(y-x)(1-x-y).
Dentro de D temos y-x\ge 0 e 1-x-y\ge 0 (pois y\le 1-x), logo (y-x)(1-x-y)\ge 0. Como x\ge 0 em D, resulta f(x,y)=x(h(y)-h(x))\ge 0 para todo (x,y)\in D.
Igualdade f(x,y)=0 ocorre quando x=0 ou y=x ou y=1-x, ou seja exatamente na fronteira de D. Como o máximo interior é \tfrac{1}{54}>0 e a fronteira é 0, concluímos que:
mínimo global em D é 0, atingido em toda a fronteira do triângulo;
máximo global em D é \tfrac{1}{54}, atingido no interior no ponto \left(\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{2}\right).
Resposta
(a) Pontos de sela: (0,0),\\ (0,1),\\ \big(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\big).
Máximo local: \big(\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{2}\big).
Não há mínimos locais isolados.
(b) Máximo global em D: \displaystyle \max_{D} f = \tfrac{1}{54}, atingido em \displaystyle \left(\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{2}\right).
Mínimo global em D: \displaystyle \min_{D} f = 0, atingido em toda a fronteira do triângulo (pontos com x=0 ou y=x ou y=1-x).