Questão 4.5 Um cotovelo redutor é usado para defletir escoamento da água ( 25^{\circ} \mathrm{C} ) a uma vazão de 30 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} em tubo direcionado para cima que forma um ângulo de 110^{\circ} a horizontal. O cotovelo descarrega água na atmosfera. A diferença de elevação entre os centros de saída e entrada 40 cm . A massa do cotovelo e da água que há nele é 50 kg . Determine a força resultante (módulo e direção) de ancoragem necessária para manter o cotovelo no lugar.
Resp.: F=1534 \mathrm{~N}, direção \beta=327^{\circ}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que é pedido.
  • Dados fornecidos (peguei estes dados da figura e do enunciado):
    • Vazão mássica: \dot{m}=30\\ \mathrm{kg/s}.
    • Temperatura da água: 25^\circ\mathrm{C} (usar densidade aproximada da água \rho\approx1000\\ \mathrm{kg/m^3}).
    • Área da seção de entrada: A_1=150\\ \mathrm{cm^2}=0,015\\ \mathrm{m^2}.
    • Área da seção de saída: A_2=25\\ \mathrm{cm^2}=0,0025\\ \mathrm{m^2}.
    • O escoamento entra horizontalmente (direção positiva x), e sai formando um ângulo de 110^\circ em relação à horizontal (medido no sentido anti-horário a partir do eixo +x).
    • Diferença de elevação entre centros de saída e entrada: \Delta z=0,40\\ \mathrm{m}.
    • Massa total do cotovelo + água nele contida: M=50\\ \mathrm{kg}.
    • O cotovelo descarrega para a atmosfera (pressão na entrada e na saída igual à pressão atmosférica).
  • O que a questão pede:
    • Determinar a força resultante de ancoragem necessária para manter o cotovelo no lugar: módulo e direção.
Observação importante para a resolução: vou usar o balanço de quantidade de movimento linear para um volume de controle que engloba o conjunto (cotovelo + fluido interno), de modo que as forças externas sobre esse conjunto (reação de ancoragem, pressões nas aberturas, peso) equilibram o fluxo de quantidade de movimento que entra e sai. A massa do conjunto gera peso que também deve ser sustentado pela ancoragem.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (aula rápida, sem pular etapas).
  1. Conservação (balanço) da quantidade de movimento linear (modo vetorial, estado estacionário, sem acumulação de quantidade de movimento no volume de controle):
\sum \mathbf{F}_{\text{ext}}=\sum_{\text{saídas}}\dot{m}\,\mathbf{V}_{\text{out}}-\sum_{\text{entradas}}\dot{m}\,\mathbf{V}_{\text{in}}.í
Aqui \sum \mathbf{F}_{\text{ext}} são todas as forças externas que atuam sobre o volume de controle (força de ancoragem que queremos, forças de pressão nas aberturas, peso do conjunto, etc.). O termo à direita é a taxa líquida de saída de quantidade de movimento (produto da vazão mássica pelos vetores velocidade nas aberturas).
  1. Forças de pressão nas aberturas: se a pressão absoluta nas seções é a pressão atmosférica p_{atm}, a força devida à pressão na seção é
\mathbf{F}_p = p_{atm}\,A\,\mathbf{n},
onde \mathbf{n} é o vetor normal à seção apontando para fora do volume de controle. Para a nossa escolha de volume de controle (englobando o cotovelo + fluido dentro), nas duas aberturas teremos forças de pressão que precisam ser incluídas.
  1. Peso do conjunto: o peso do cotovelo + água dentro dele é
\mathbf{W}= -M g\,\mathbf{j},
no sistema de coordenadas cartesianas com \mathbf{j} apontando para cima (portanto o peso aponta para baixo). Usamos g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
  1. Organização do equilíbrio: escolhemos como desconhecida a força de ancoragem \mathbf{R} (força que a ancoragem aplica ao conjunto). Então somamos todas as forças externas:
\mathbf{R} + \mathbf{F}_{p,\text{total}} + \mathbf{W} = \dot{m}\,\mathbf{V}_{\text{out}} - \dot{m}\,\mathbf{V}_{\text{in}}.
Rearranjando,
\mathbf{R} = \dot{m}(\mathbf{V}_{\text{out}}-\mathbf{V}_{\text{in}}) - \mathbf{F}_{p,\text{total}} - \mathbf{W}.
Iremos calcular cada termo vetorialmente (componentes x e y).

Passo 3

Calcular velocidades médias nas seções a partir da vazão mássica e das áreas.
Fórmula que usamos: \dot{m}=\rho A V \Rightarrow V=\dfrac{\dot{m}}{\rho A}.
  • Para a entrada (seção 1):
A_1=0,015\\ \mathrm{m^2},\qquad V_1=\dfrac{\dot{m}}{\rho A_1}=\dfrac{30}{1000\cdot 0,015}= \dfrac{30}{15}=2{,}00\\ \mathrm{m/s}.
A velocidade de entrada \mathbf{V}_1 está dirigida horizontalmente para a direita, ou seja
\mathbf{V}_1=(2{,}00)\,\mathbf{i} \quad (\mathrm{m/s}).
  • Para a saída (seção 2):
A_2=0,0025\\ \mathrm{m^2},\qquad V_2=\dfrac{30}{1000\cdot 0,0025}=\dfrac{30}{2{,}5}=12{,}0\\ \mathrm{m/s}.
A direção da saída faz um ângulo \alpha=110^\circ contado a partir do eixo +x no sentido anti-horário. Assim as componentes de \mathbf{V}_2 são
\mathbf{V}_2 = V_2(\cos110^\circ\,\mathbf{i} + \sin110^\circ\,\mathbf{j}).
Calculemos numericamente as componentes (usar \cos110^\circ=-0{,}342020, \sin110^\circ=0{,}939693):
V_{2x}=12{,}0\cos110^\circ = 12{,}0(-0{,}342020) = -4{,}10424\\ \mathrm{m/s},
V_{2y}=12{,}0\sin110^\circ = 12{,}0(0{,}939693) = 11{,}2763\\ \mathrm{m/s}.
Portanto
\mathbf{V}_2 = (-4{,}10424)\,\mathbf{i} + (11{,}2763)\,\mathbf{j}\\ \\ (\mathrm{m/s}).

Passo 4

Calcular o termo de quantidade de movimento \dot{m}(\mathbf{V}_2-\mathbf{V}_1).
As componentes:
\mathbf{V}_2-\mathbf{V}_1 = (-4{,}10424-2{,}00)\,\mathbf{i} + (11{,}2763-0)\,\mathbf{j} = (-6{,}10424)\,\mathbf{i} + (11{,}2763)\,\mathbf{j}.
Multiplicando pela vazão mássica \dot{m}=30\\ \mathrm{kg/s}:
\dot{m}(\mathbf{V}_2-\mathbf{V}_1)=30\cdot(-6{,}10424)\,\mathbf{i} + 30\cdot(11{,}2763)\,\mathbf{j} = (-183{,}127)\,\mathbf{i} + (338{,}289)\,\mathbf{j}\\ \\ (\mathrm{N}).
(Lembrete: kg/s·m/s = N.)
Interpretação física: este vetor é a taxa líquida de saída de quantidade de movimento; forças externas devem fornecer o equilíbrio desta variação.

Passo 5

Calcular a força resultante das pressões atmosféricas nas aberturas.
Explicação didática: nas aberturas o fluido “sente” a pressão atmosférica agindo com uma força p_{atm}A na direção da normal ao contorno. Para o volume de controle que engloba o conjunto, a contribuição total das forças de pressão nas aberturas é
\mathbf{F}_p = p_{atm}\big(A_2\mathbf{n}_2 + A_1\mathbf{n}_1\big).
Aqui \mathbf{n}_2 é o vetor normal apontando para fora do volume (na saída ele tem a mesma direção de \mathbf{V}_2), e \mathbf{n}_1 aponta para fora do volume através da entrada (isto é, oposto à direção de \mathbf{V}_1, pois a velocidade entra).
Tomando p_{atm}=101325\\ \mathrm{Pa}, e usando as direções:
  • \mathbf{n}_2=(\cos110^\circ)\,\mathbf{i}+(\sin110^\circ)\,\mathbf{j}.
  • \mathbf{n}_1=-\mathbf{i} (porque a entrada aponta para dentro, o normal para fora do VC é para a esquerda).
Então o termo vetorial das áreas é
A_2\mathbf{n}_2 - A_1\mathbf{i} = 0{,}0025\big(\cos110^\circ\,\mathbf{i}+\sin110^\circ\,\mathbf{j}\big) - 0{,}015\,\mathbf{i}.
Numericamente dentro do parêntese:
0{,}0025\cos110^\circ = 0{,}0025(-0{,}342020)=-0{,}00085505,
0{,}0025\sin110^\circ = 0{,}0025(0{,}939693)=0{,}00234923.
Subtraindo 0{,}015 em x:
\text{vetor de área-direção} = (-0{,}01585505)\,\mathbf{i} + (0{,}00234923)\,\mathbf{j}.áçã
Multiplicando por p_{atm}=101325\\ \mathrm{Pa}:
\mathbf{F}_p = 101325\cdot\big[-0{,}01585505\,\mathbf{i} + 0{,}00234923\,\mathbf{j}\big] = (-1606{,}75)\,\mathbf{i} + (238{,}00)\,\mathbf{j}\\ \\ (\mathrm{N}).

Passo 6

Calcular o peso total do conjunto (cotovelo + água contida) e escrever como vetor.
Usando M=50\\ \mathrm{kg} e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}:
\mathbf{W} = -M g\,\mathbf{j} = -50\cdot 9{,}81\,\mathbf{j} = -490{,}5\,\mathbf{j}\\ \\ (\mathrm{N}).

Passo 7

Montar a equação do equilíbrio e calcular a força de ancoragem \mathbf{R}.
Recordando a fórmula do Passo 2:
\mathbf{R} = \dot{m}(\mathbf{V}_2-\mathbf{V}_1) - \mathbf{F}_p - \mathbf{W}.
Substituindo os vetores que já calculamos:
  • \dot{m}(\mathbf{V}_2-\mathbf{V}_1)=(-183{,}127)\,\mathbf{i} + (338{,}289)\,\mathbf{j}.
  • \mathbf{F}_p = (-1606{,}75)\,\mathbf{i} + (238{,}00)\,\mathbf{j}.
  • \mathbf{W} = (0)\,\mathbf{i} + (-490{,}5)\,\mathbf{j}.
Então
\mathbf{R} = \big(-183{,}127 -(-1606{,}75) - 0\big)\,\mathbf{i} + \big(338{,}289 - 238{,}00 -(-490{,}5)\big)\,\mathbf{j}.
Calculando numericamente:
R_x = -183{,}127 +1606{,}75 = 1423{,}623\\ \mathrm{N},
R_y = 338{,}289 -238{,}00 +490{,}5 = 590{,}789\\ \mathrm{N}.
Portanto o vetor reação é
\mathbf{R} = (1423{,}623)\,\mathbf{i} + (590{,}789)\,\mathbf{j}\\ \\ (\mathrm{N}).

Passo 8

Calcular o módulo e a direção da força de ancoragem.
  • Módulo:
F = \|\mathbf{R}\| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(1423{,}623)^2 + (590{,}789)^2} \approx 1541{,}3\\ \mathrm{N}.
  • Direção: o ângulo \theta medido a partir do eixo +x no sentido anti-horário (ângulo padrão) é
\theta=\arctan\!\left(\frac{R_y}{R_x}\right)=\arctan\!\left(\frac{590{,}789}{1423{,}623}\right)\approx 22{,}44^\circ
isto é, a força aponta 22{,}44^\circ acima do eixo +x. Se for necessário dar a direção no sentido horário a partir do eixo +x (ângulo azimutal no intervalo 0^\circ 360^\circ), então
\beta = 360^\circ - 22{,}44^\circ = 337{,}56^\circ.

Resposta

F = 1541,3 N
direção β = 337,56°

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