Questão 4.5 Um cotovelo redutor é usado para defletir escoamento da água (
) a uma vazão de
em tubo direcionado para cima que forma um ângulo de
a horizontal. O cotovelo descarrega água na atmosfera. A diferença de elevação entre os centros de saída e entrada 40 cm . A massa do cotovelo e da água que há nele é 50 kg . Determine a força resultante (módulo e direção) de ancoragem necessária para manter o cotovelo no lugar.
Resp.:
, direção
.
Resp.:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que é pedido.
- Dados fornecidos (peguei estes dados da figura e do enunciado):
- Vazão mássica:
. - Temperatura da água:
(usar densidade aproximada da água ). - Área da seção de entrada:
. - Área da seção de saída:
. - O escoamento entra horizontalmente (direção positiva
), e sai formando um ângulo de em relação à horizontal (medido no sentido anti-horário a partir do eixo ). - Diferença de elevação entre centros de saída e entrada:
. - Massa total do cotovelo + água nele contida:
. - O cotovelo descarrega para a atmosfera (pressão na entrada e na saída igual à pressão atmosférica).
- Vazão mássica:
- O que a questão pede:
- Determinar a força resultante de ancoragem necessária para manter o cotovelo no lugar: módulo e direção.
Observação importante para a resolução: vou usar o balanço de quantidade de movimento linear para um volume de controle que engloba o conjunto (cotovelo + fluido interno), de modo que as forças externas sobre esse conjunto (reação de ancoragem, pressões nas aberturas, peso) equilibram o fluxo de quantidade de movimento que entra e sai. A massa do conjunto gera peso que também deve ser sustentado pela ancoragem.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (aula rápida, sem pular etapas).
- Conservação (balanço) da quantidade de movimento linear (modo vetorial, estado estacionário, sem acumulação de quantidade de movimento no volume de controle):
Aqui
são todas as forças externas que atuam sobre o volume de controle (força de ancoragem que queremos, forças de pressão nas aberturas, peso do conjunto, etc.). O termo à direita é a taxa líquida de saída de quantidade de movimento (produto da vazão mássica pelos vetores velocidade nas aberturas).
- Forças de pressão nas aberturas: se a pressão absoluta nas seções é a pressão atmosférica
, a força devida à pressão na seção é
onde
é o vetor normal à seção apontando para fora do volume de controle. Para a nossa escolha de volume de controle (englobando o cotovelo + fluido dentro), nas duas aberturas teremos forças de pressão que precisam ser incluídas.
- Peso do conjunto: o peso do cotovelo + água dentro dele é
no sistema de coordenadas cartesianas com
apontando para cima (portanto o peso aponta para baixo). Usamos
.
- Organização do equilíbrio: escolhemos como desconhecida a força de ancoragem
(força que a ancoragem aplica ao conjunto). Então somamos todas as forças externas:
Rearranjando,
Iremos calcular cada termo vetorialmente (componentes
e
).
Passo 3
Calcular velocidades médias nas seções a partir da vazão mássica e das áreas.
Fórmula que usamos:
.
- Para a entrada (seção 1):
A velocidade de entrada
está dirigida horizontalmente para a direita, ou seja
- Para a saída (seção 2):
A direção da saída faz um ângulo
contado a partir do eixo
no sentido anti-horário. Assim as componentes de
são
Calculemos numericamente as componentes (usar
,
):
Portanto
Passo 4
Calcular o termo de quantidade de movimento
.
As componentes:
Multiplicando pela vazão mássica
:
(Lembrete: kg/s·m/s = N.)
Interpretação física: este vetor é a taxa líquida de saída de quantidade de movimento; forças externas devem fornecer o equilíbrio desta variação.
Passo 5
Calcular a força resultante das pressões atmosféricas nas aberturas.
Explicação didática: nas aberturas o fluido “sente” a pressão atmosférica agindo com uma força
na direção da normal ao contorno. Para o volume de controle que engloba o conjunto, a contribuição total das forças de pressão nas aberturas é
Aqui
é o vetor normal apontando para fora do volume (na saída ele tem a mesma direção de
), e
aponta para fora do volume através da entrada (isto é, oposto à direção de
, pois a velocidade entra).
Tomando
, e usando as direções:
-
. -
(porque a entrada aponta para dentro, o normal para fora do VC é para a esquerda).
Então o termo vetorial das áreas é
Numericamente dentro do parêntese:
Subtraindo
em
:
Multiplicando por
:
Passo 6
Calcular o peso total do conjunto (cotovelo + água contida) e escrever como vetor.
Usando
e
:
Passo 7
Montar a equação do equilíbrio e calcular a força de ancoragem
.
Recordando a fórmula do Passo 2:
Substituindo os vetores que já calculamos:
-
. -
-
Então
Calculando numericamente:
Portanto o vetor reação é
Passo 8
Calcular o módulo e a direção da força de ancoragem.
- Módulo:
- Direção: o ângulo
medido a partir do eixo no sentido anti-horário (ângulo padrão) é
isto é, a força aponta
acima do eixo
. Se for necessário dar a direção no sentido horário a partir do eixo
(ângulo azimutal no intervalo
–
), então
Resposta
F = 1541,3 N
direção β = 337,56°
direção β = 337,56°