(a) Determine a curva de nível que passa pelo ponto P=(-1,2) e identifique o tipo de curva (elipse, hipérbole, etc.), justificando sua resposta.
(b) Calcule \nabla f(-1,2) e explique por que o gradiente é ortogonal à curva de nível nesse ponto, discutindo o significado geométrico dessa propriedade.
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{2}+4y^{2}+xy
e pede duas coisas:
(a) Determinar a curva de nível que passa pelo ponto P=(-1,2) e identificar que tipo de curva é (elipse, hipérbole, etc.), justificando.
(b) Calcular \nabla f(-1,2) e explicar por que o gradiente é ortogonal à curva de nível nesse ponto, discutindo o significado geométrico dessa propriedade.
Informações relevantes fornecidas:
\text{o ponto }P = (-1,2), \qquad f(x,y)=x^{2}+4y^{2}+xy.
Passo 2
Calcular o valor de f no ponto P. Isso nos dará a constante da curva de nível que passa por P.
Para checar se Q é definida positiva (o que implica elipse centrada na origem para nível positivo), verificamos os pivôs (ou autovalores). Mais simples: calcular determinante e olhar A>0:
e A=1>0. Portanto M é definida positiva, logo Q(x,y)>0 para todo (x,y)\neq(0,0). Assim a equação Q(x,y)=15 com 15>0 descreve uma elipse não degenerada, centrada na origem (não há termos lineares que deslocem o centro).
Portanto a curva de nível é uma elipse.]
Passo 6
Agora (b): calcular as derivadas parciais para obter o gradiente. Lembre que a derivada parcial de f em relação a x é a taxa de variação de f quando x muda e y fica fixo; simbolicamente:
Avaliar o gradiente no ponto P=(-1,2). Substituímos x=-1 e y=2 em cada componente:
Primeira componente:
2x+y = 2\cdot(-1)+2 = -2+2 = 0.
Segunda componente:
8y+x = 8\cdot 2 + (-1) = 16-1 = 15.
Portanto
\boxed{\nabla f(-1,2)=(0,15).}
Passo 8
Explicar por que o gradiente é ortogonal à curva de nível naquele ponto (prova e interpretação geométrica). Prova via parametrização/derivada total:
Se (x(t),y(t)) é uma parametrização da curva de nível f(x,y)=\text{constante}, então a função composta t\mapsto f(x(t),y(t)) é constante. Assim sua derivada em t é zero:
Aqui (x'(t),y'(t)) é um vetor tangente à curva de nível. Assim o produto escalar sendo zero mostra que \nabla f é perpendicular (ortogonal) a todo vetor tangente da curva de nível — ou seja, é ortogonal à curva de nível.
Geometricamente: o gradiente em um ponto aponta na direção de máxima taxa de crescimento de f; as curvas de nível são locais curvas onde f não muda (valem constante). Logo é intuitivo que a direção de maior subida seja perpendicular à direção em que não há variação (a curva de nível). Em outras palavras, se você andar sobre a curva de nível não sobe nem desce f, mas se seguir a direção do gradiente, sobe mais rápido.
Passo 9
Aplicar essa propriedade ao caso numérico para ver o que ela implica sobre a tangente da elipse em P. Como \nabla f(-1,2)=(0,15) é vertical, isso implica que o vetor tangente à elipse em P é horizontal (ortogonal ao vertical).
Podemos também obter a inclinação da tangente via diferenciação implícita da equação da curva de nível:
Partindo de
x^{2}+4y^{2}+xy=15,
derivando ambos os lados em relação a x (tratando y como função y(x)):
2x + 8y\frac{dy}{dx} + y + x\frac{dy}{dx} = 0.
Agrupando os termos com \displaystyle \frac{dy}{dx}:
\left(8y + x\right)\frac{dy}{dx} + (2x+y) = 0.
Logo
\frac{dy}{dx} = -\,\frac{2x+y}{8y+x}.
Observe que o numerador é \partial f/\partial x e o denominador é \partial f/\partial y, o que dá a relação usual \displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{f_x}{f_y} quando f_y\neq 0. No nosso ponto P, já calculamos 2x+y=0 e 8y+x=15, portanto
Isto confirma que a tangente é horizontal em P, consistente com o gradiente vertical (0,15).
Resposta
(a) A curva de nível que passa por P é x^{2}+4y^{2}+xy=15. Trata-se de uma elipse (porque B^{2}-4AC=1-16=-15<0 e a forma quadrática é definida positiva).
(b) \nabla f(-1,2)=(0,15). O gradiente é ortogonal à curva de nível nesse ponto porque a derivada total de f ao longo da curva de nível é zero, o que implica \nabla f ortogonal a qualquer vetor tangente; geometricamente o gradiente indica a direção de máxima subida de f e, portanto, é perpendicular às direções em que f não varia (as curvas de nível).