Questão 1 - Curvas de nível e gradiente

Considere a função
f(x, y)=x^{2}+4 y^{2}+x y .
(a) Determine a curva de nível que passa pelo ponto P=(-1,2) e identifique o tipo de curva (elipse, hipérbole, etc.), justificando sua resposta.
(b) Calcule \nabla f(-1,2) e explique por que o gradiente é ortogonal à curva de nível nesse ponto, discutindo o significado geométrico dessa propriedade.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{2}+4y^{2}+xy
e pede duas coisas:
  1. (a) Determinar a curva de nível que passa pelo ponto P=(-1,2) e identificar que tipo de curva é (elipse, hipérbole, etc.), justificando.
  2. (b) Calcular \nabla f(-1,2) e explicar por que o gradiente é ortogonal à curva de nível nesse ponto, discutindo o significado geométrico dessa propriedade.
Informações relevantes fornecidas:
\text{o ponto }P = (-1,2), \qquad f(x,y)=x^{2}+4y^{2}+xy.

Passo 2

Calcular o valor de f no ponto P. Isso nos dará a constante da curva de nível que passa por P.
Compute:
f(-1,2)=(-1)^{2}+4\cdot(2)^{2}+(-1)\cdot 2.
Agora as contas passo a passo:
(-1)^{2}=1, \qquad 4\cdot(2)^{2}=4\cdot 4=16, \qquad (-1)\cdot 2=-2.
Somando:
f(-1,2)=1+16-2=15.

Passo 3

Escrever a equação da curva de nível correspondente a f(x,y)=15. A curva de nível que passa por P é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem
x^{2}+4y^{2}+xy=15.
Então a equação da curva de nível é exatamente essa.

Passo 4

Classificar o tipo de curva (elipse, hipérbole, etc.). Para isso usamos a forma geral de cônicas quadráticas sem termos lineares:
Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+ \text{(termos lineares/constantes)} = 0.
Aqui podemos comparar com a equação em que todos os termos quadráticos estão presentes e não há termos lineares em x ou y. Identificamos:
A=1,\qquad B=1,\qquad C=4,
se escrevermos a equação na forma Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}-15=0.
A classificação pela discriminante da cônica usa
\Delta = B^{2}-4AC.
Calculemos:
\Delta = 1^{2}-4\cdot 1\cdot 4 = 1-16 = -15.
Como \Delta<0, a cônica é do tipo elipse (ou degenerada se houver outras anomalias). Precisamos checar se é não degenerada.

Passo 5

Verificar não degenerescência / positividade da forma quadrática. A forma quadrática associada é
Q(x,y)=x^{2}+xy+4y^{2}.
Podemos associar a matriz simétrica
M=\begin{pmatrix}1 & \tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2} & 4\end{pmatrix},
porque x^{2}+xy+4y^{2} = [x\;y]\,M\,[x\;y]^{T}.
Para checar se Q é definida positiva (o que implica elipse centrada na origem para nível positivo), verificamos os pivôs (ou autovalores). Mais simples: calcular determinante e olhar A>0:
\det M = 1\cdot 4 - \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2} = 4 - \tfrac{1}{4} = \tfrac{15}{4}>0,
e A=1>0. Portanto M é definida positiva, logo Q(x,y)>0 para todo (x,y)\neq(0,0). Assim a equação Q(x,y)=15 com 15>0 descreve uma elipse não degenerada, centrada na origem (não há termos lineares que deslocem o centro).
Portanto a curva de nível é uma elipse.]

Passo 6

Agora (b): calcular as derivadas parciais para obter o gradiente. Lembre que a derivada parcial de f em relação a x é a taxa de variação de f quando x muda e y fica fixo; simbolicamente:
\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
Aplicando isso de forma direta a f(x,y)=x^{2}+4y^{2}+xy, tratamos y como constante ao derivar em x:
\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + y.
Analogamente, para y (tratando x como constante):
\frac{\partial f}{\partial y} = 8y + x,
pois a derivada de 4y^{2} em relação a y é 8y, e de xy em relação a y é x.
Logo o gradiente é
\displaystyle \nabla f(x,y)=\bigl(2x+y,\;8y+x\bigr).

Passo 7

Avaliar o gradiente no ponto P=(-1,2). Substituímos x=-1 e y=2 em cada componente:
Primeira componente:
2x+y = 2\cdot(-1)+2 = -2+2 = 0.
Segunda componente:
8y+x = 8\cdot 2 + (-1) = 16-1 = 15.
Portanto
\boxed{\nabla f(-1,2)=(0,15).}

Passo 8

Explicar por que o gradiente é ortogonal à curva de nível naquele ponto (prova e interpretação geométrica). Prova via parametrização/derivada total:
Se (x(t),y(t)) é uma parametrização da curva de nível f(x,y)=\text{constante}, então a função composta t\mapsto f(x(t),y(t)) é constante. Assim sua derivada em t é zero:
\frac{d}{dt}f(x(t),y(t))=0.
Pela regra da cadeia:
\frac{d}{dt}f(x(t),y(t)) = \frac{\partial f}{\partial x}(x(t),y(t))\,x'(t) + \frac{\partial f}{\partial y}(x(t),y(t))\,y'(t).
Em notação vetorial isso é
\nabla f(x(t),y(t))\cdot (x'(t),y'(t)) = 0.
Aqui (x'(t),y'(t)) é um vetor tangente à curva de nível. Assim o produto escalar sendo zero mostra que \nabla f é perpendicular (ortogonal) a todo vetor tangente da curva de nível — ou seja, é ortogonal à curva de nível.
Geometricamente: o gradiente em um ponto aponta na direção de máxima taxa de crescimento de f; as curvas de nível são locais curvas onde f não muda (valem constante). Logo é intuitivo que a direção de maior subida seja perpendicular à direção em que não há variação (a curva de nível). Em outras palavras, se você andar sobre a curva de nível não sobe nem desce f, mas se seguir a direção do gradiente, sobe mais rápido.

Passo 9

Aplicar essa propriedade ao caso numérico para ver o que ela implica sobre a tangente da elipse em P. Como \nabla f(-1,2)=(0,15) é vertical, isso implica que o vetor tangente à elipse em P é horizontal (ortogonal ao vertical).
Podemos também obter a inclinação da tangente via diferenciação implícita da equação da curva de nível:
Partindo de
x^{2}+4y^{2}+xy=15,
derivando ambos os lados em relação a x (tratando y como função y(x)):
2x + 8y\frac{dy}{dx} + y + x\frac{dy}{dx} = 0.
Agrupando os termos com \displaystyle \frac{dy}{dx}:
\left(8y + x\right)\frac{dy}{dx} + (2x+y) = 0.
Logo
\frac{dy}{dx} = -\,\frac{2x+y}{8y+x}.
Observe que o numerador é \partial f/\partial x e o denominador é \partial f/\partial y, o que dá a relação usual \displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{f_x}{f_y} quando f_y\neq 0. No nosso ponto P, já calculamos 2x+y=0 e 8y+x=15, portanto
\frac{dy}{dx}\Big|_{(-1,2)} = -\,\frac{0}{15} = 0.
Isto confirma que a tangente é horizontal em P, consistente com o gradiente vertical (0,15).

Resposta

(a) A curva de nível que passa por P é x^{2}+4y^{2}+xy=15. Trata-se de uma elipse (porque B^{2}-4AC=1-16=-15<0 e a forma quadrática é definida positiva).
(b) \nabla f(-1,2)=(0,15). O gradiente é ortogonal à curva de nível nesse ponto porque a derivada total de f ao longo da curva de nível é zero, o que implica \nabla f ortogonal a qualquer vetor tangente; geometricamente o gradiente indica a direção de máxima subida de f e, portanto, é perpendicular às direções em que f não varia (as curvas de nível).

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