Questão 4. O custo de produção (em reais) de uma fábrica de peças é dado por
C(x)=500+20 x-0,05 x^{2}, \quad x \geq 0
onde x representa a quantidade produzida.
Calcule a taxa média de variação do custo quando a produção varia de 10 para 50 unidades.

Passo 1

O enunciado fornece a função custo
C(x)=500+20x-0,05x^{2},\quad x\ge 0,
onde x é a quantidade produzida (unidades).
Pede-se a taxa média de variação do custo quando a produção varia de 10 para 50 unidades — ou seja, a média do aumento do custo por unidade produzida no intervalo x=10 até x=50.

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar: a taxa média de variação de uma função C(x) entre x=a e x=b é dada por
\frac{C(b)-C(a)}{b-a}.
Explicando cada parte: C(a) é o valor do custo no ponto inicial a, C(b) é o custo no ponto final b. O numerador C(b)-C(a) é a variação total do custo no intervalo, e o denominador b-a é a variação na quantidade produzida. O quociente dá quantos reais, em média, o custo aumenta (ou diminui) por unidade adicional produzida no intervalo.
Exemplo rápido para entender: se f(x)=2x, entre 1 e 3 a taxa média é (f(3)-f(1))/(3-1)=(6-2)/2=2, que é a inclinação da reta.

Passo 3

Calcular C(10) substituindo x=10 na expressão de C(x):
C(10)=500+20\cdot 10-0,05\cdot 10^{2}.
Fazendo as contas passo a passo: 20\cdot 10=200, 10^{2}=100, 0,05\cdot 100=5. Portanto,
C(10)=500+200-5=695.

Passo 4

Calcular C(50) substituindo x=50:
C(50)=500+20\cdot 50-0,05\cdot 50^{2}.
Fazendo as contas: 20\cdot 50=1000, 50^{2}=2500, 0,05\cdot 2500=125. Assim,
C(50)=500+1000-125=1375.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da taxa média de variação com a=10 e b=50:
\frac{C(50)-C(10)}{50-10}=\frac{1375-695}{40}=\frac{680}{40}.
Simplificando 680/40: dividir ambos por 10 68/4, e 68/4=17.
Interpretação: em média, quando a produção aumenta de 10 para 50 unidades, o custo aumenta \,17 reais para cada unidade adicional produzida. Ou seja, a taxa média de variação é positiva e vale 17 reais por unidade.

Resposta

17 reais por unidade.

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