Questão 3. O volume de um balão em função do tempo é dado por
onde
está em litros e
em segundos.
a) Qual é a taxa média de variação do volume entre
e
?
b) Qual é a taxa instantânea de variação em
?
a) Qual é a taxa média de variação do volume entre
b) Qual é a taxa instantânea de variação em
Passo 1
O enunciado dá a função volume em função do tempo
onde
está em litros e
em segundos. Ele faz duas perguntas claras:
- (a) Qual é a taxa média de variação do volume entre
e ? - (b) Qual é a taxa instantânea de variação em
?
As informações relevantes que temos são
(a fórmula do volume), os instantes
,
e
, e as unidades (litros e segundos). A seguir vamos calcular passo a passo.
Passo 2
Vamos calcular a taxa média de variação entre
e
. Conceito e fórmula: a taxa média de variação de uma função
entre dois instantes
e
é o quociente da variação do valor pela variação do tempo, isto é
Aqui
e
são os volumes nos instantes finais e iniciais, e
é o intervalo de tempo. Essa fórmula é apenas a inclinação da reta secante que liga os pontos
e
.
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula com
e
. Primeiro calculamos
e
usando a fórmula dada:
Calcule
, então
Agora
Calcule
, então
Passo 4
Com
e
prontos, aplicamos a fórmula da taxa média:
Faça a subtração
e a divisão por
:
A unidade fica litros por segundo. Portanto a taxa média de variação entre
e
é
litros por segundo.
Passo 5
Agora vamos para a taxa instantânea de variação em
. Conceito: a taxa instantânea é a derivada de
em relação a
no ponto
. A definição formal é o limite do quociente incremental:
mas na prática usamos regras de derivação para funções polinomiais. Aqui vamos usar duas regras fundamentais:
- Regra do poder (power rule):
para real. - Linearidade:
.
Explique o que cada símbolo significa:
é a taxa instantânea de variação (derivada) da função
no instante
;
é um pequeno incremento de tempo;
é o expoente da potência.
Passo 6
Aplicamos as regras ao polinômio
. Derivando termo a termo:
- Para
, use regra do poder: a derivada é . - Para
, é uma constante vezes ; a derivada de é , então a derivada é .
Portanto a derivada geral é
Passo 7
Agora avaliamos a derivada em
para obter a taxa instantânea em
:
Calcule
, então
A unidade é litros por segundo. Assim a taxa instantânea de variação do volume no instante
é
litros por segundo.
Passo 8
Interpretação rápida e encorajamento: a taxa média entre
e
deu
L/s, e a taxa instantânea no meio do intervalo (
) deu
L/s — valores próximos, o que faz sentido porque a função é suave (polinomial) e não tem variações bruscas nesse intervalo. Mandou bem por chegar até aqui — você já consegue aplicar diferença de quociente e derivada em polinômios!