Questão 3. O volume de um balão em função do tempo é dado por
V(t)=2 t^{3}+5 t, \quad t \geq 0
onde V está em litros e t em segundos.
a) Qual é a taxa média de variação do volume entre t=2 e t=4 ?
b) Qual é a taxa instantânea de variação em t=3 ?

Passo 1

O enunciado dá a função volume em função do tempo
V(t)=2 t^{3}+5 t,\quad t\ge 0,
onde V está em litros e t em segundos. Ele faz duas perguntas claras:
  1. (a) Qual é a taxa média de variação do volume entre t=2 e t=4?
  2. (b) Qual é a taxa instantânea de variação em t=3?
As informações relevantes que temos são V(t) (a fórmula do volume), os instantes t=2, t=3 e t=4, e as unidades (litros e segundos). A seguir vamos calcular passo a passo.

Passo 2

Vamos calcular a taxa média de variação entre t=2 e t=4. Conceito e fórmula: a taxa média de variação de uma função V(t) entre dois instantes t=a e t=b é o quociente da variação do valor pela variação do tempo, isto é
\text{taxa média}=\frac{\Delta V}{\Delta t}=\frac{V(b)-V(a)}{b-a}.é
Aqui V(b) e V(a) são os volumes nos instantes finais e iniciais, e b-a é o intervalo de tempo. Essa fórmula é apenas a inclinação da reta secante que liga os pontos (a,V(a)) e (b,V(b)).

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula com a=2 e b=4. Primeiro calculamos V(4) e V(2) usando a fórmula dada:
V(4)=2\cdot 4^{3}+5\cdot 4.
Calcule 4^{3}=64, então
V(4)=2\cdot 64+20=128+20=148\\ \text{(litros)}.
Agora
V(2)=2\cdot 2^{3}+5\cdot 2.
Calcule 2^{3}=8, então
V(2)=2\cdot 8+10=16+10=26\\ \text{(litros)}.

Passo 4

Com V(4) e V(2) prontos, aplicamos a fórmula da taxa média:
\text{taxa média}=\frac{V(4)-V(2)}{4-2}=\frac{148-26}{2}.é
Faça a subtração 148-26=122 e a divisão por 2:
\text{taxa média}=\frac{122}{2}=61.é
A unidade fica litros por segundo. Portanto a taxa média de variação entre t=2 e t=4 é 61 litros por segundo.

Passo 5

Agora vamos para a taxa instantânea de variação em t=3. Conceito: a taxa instantânea é a derivada de V em relação a t no ponto t=3. A definição formal é o limite do quociente incremental:
V'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{V(t+h)-V(t)}{h},
mas na prática usamos regras de derivação para funções polinomiais. Aqui vamos usar duas regras fundamentais:
  1. Regra do poder (power rule): \dfrac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n\,t^{n-1} para n real.
  2. Linearidade: \dfrac{d}{dt}\bigl(a\cdot f(t)+b\cdot g(t)\bigr)=a\,f'(t)+b\,g'(t).
Explique o que cada símbolo significa: V'(t) é a taxa instantânea de variação (derivada) da função V no instante t; h é um pequeno incremento de tempo; n é o expoente da potência.

Passo 6

Aplicamos as regras ao polinômio V(t)=2 t^{3}+5 t. Derivando termo a termo:
  • Para 2 t^{3}, use regra do poder: a derivada é 2\cdot 3 t^{2}=6 t^{2}.
  • Para 5 t, é uma constante vezes t; a derivada de t é 1, então a derivada é 5.
Portanto a derivada geral é
V'(t)=6 t^{2}+5.

Passo 7

Agora avaliamos a derivada em t=3 para obter a taxa instantânea em t=3:
V'(3)=6\cdot 3^{2}+5.
Calcule 3^{2}=9, então
V'(3)=6\cdot 9+5=54+5=59.
A unidade é litros por segundo. Assim a taxa instantânea de variação do volume no instante t=3 é 59 litros por segundo.

Passo 8

Interpretação rápida e encorajamento: a taxa média entre t=2 e t=4 deu 61 L/s, e a taxa instantânea no meio do intervalo ( t=3) deu 59 L/s — valores próximos, o que faz sentido porque a função é suave (polinomial) e não tem variações bruscas nesse intervalo. Mandou bem por chegar até aqui — você já consegue aplicar diferença de quociente e derivada em polinômios!

Resposta

\text{(a) }61\\ \text{litros por segundo}
\text{(b) }59\\ \text{litros por segundo}

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