Questão 4. O custo de produção (em reais) de uma fábrica de peças é dado por
onde
representa a quantidade produzida.
Determine a taxa de variação instantânea em
.
Determine a taxa de variação instantânea em
Passo 1
O enunciado dá a função custo
onde
é a quantidade produzida. A pergunta é: determine a taxa de variação instantânea em
. Listei as informações dadas: a expressão de
, o domínio
e o ponto onde queremos a taxa de variação,
. Não vou resolver ainda; só deixei claro o que é pedido e o que foi fornecido.
Passo 2
O que significa “taxa de variação instantânea” aqui? Intuitivamente, é a variação do custo quando a produção muda “um pouquinho” em torno de
. Formalmente, é o limite da taxa média de variação quando o incremento vai para zero:
A taxa de variação instantânea em
é o limite dessa taxa média quando
:
Isso tem unidade “reais por peça” (ou “R$ por unidade”), porque numerador é em reais e denominador é em unidades produzidas. Essa é a definição via limite — para uma função polinomial como a nossa existe uma forma mais prática (regras de derivação) que vamos usar.
Passo 3
Vou usar a regra do poder (power rule) para derivar polinômios, porque é o método mais direto e rápido para este tipo de função. A regra diz: para uma função do tipo
, com
constante e
inteiro, a derivada é
Aqui
é o coeficiente (um número),
é o expoente, e
é a variável. Exemplos simples para fixar:
;
(aqui
); e
. Também usamos que a derivada é linear: a derivada da soma é a soma das derivadas.
Passo 4
Aplicando essas regras termo a termo à função
:
- A derivada de
(constante) é . - A derivada de
(termo linear) é . - A derivada de
pela regra do poder é .
Portanto, juntando:
Passo 5
Agora avaliamos a derivada em
:
Calculemos a multiplicação:
. Logo
Passo 6
Interpretação prática (importantíssimo para a prova):
significa que, quando a produção está em
peças, aumentar a produção em uma peça a mais aumenta o custo em aproximadamente
reais. Em linguagem de economia/gestão, esse é o custo marginal no nível de produção
.