Questão 4. O custo de produção (em reais) de uma fábrica de peças é dado por
C(x)=500+20 x-0,05 x^{2}, \quad x \geq 0
onde x representa a quantidade produzida.
Determine a taxa de variação instantânea em x=20.

Passo 1

O enunciado dá a função custo
C(x)=500+20x-0,05x^{2},\quad x\ge 0,
onde x é a quantidade produzida. A pergunta é: determine a taxa de variação instantânea em x=20. Listei as informações dadas: a expressão de C(x), o domínio x\ge 0 e o ponto onde queremos a taxa de variação, x=20. Não vou resolver ainda; só deixei claro o que é pedido e o que foi fornecido.

Passo 2

O que significa “taxa de variação instantânea” aqui? Intuitivamente, é a variação do custo quando a produção muda “um pouquinho” em torno de x=20. Formalmente, é o limite da taxa média de variação quando o incremento vai para zero:
\text{taxa média entre }x\text{ e }x+h=\frac{C(x+h)-C(x)}{h}.é
A taxa de variação instantânea em x é o limite dessa taxa média quando h\to 0:
C'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{C(x+h)-C(x)}{h}.
Isso tem unidade “reais por peça” (ou “R$ por unidade”), porque numerador é em reais e denominador é em unidades produzidas. Essa é a definição via limite — para uma função polinomial como a nossa existe uma forma mais prática (regras de derivação) que vamos usar.

Passo 3

Vou usar a regra do poder (power rule) para derivar polinômios, porque é o método mais direto e rápido para este tipo de função. A regra diz: para uma função do tipo a x^{n}, com a constante e n inteiro, a derivada é
\frac{d}{dx}\bigl(a x^{n}\bigr)=a\cdot n\cdot x^{n-1}.
Aqui a é o coeficiente (um número), n é o expoente, e x é a variável. Exemplos simples para fixar: \frac{d}{dx}(3x^{4})=3\cdot4\cdot x^{3}=12x^{3}; \frac{d}{dx}(5x)=5 (aqui n=1); e \frac{d}{dx}(\text{constante})=0. Também usamos que a derivada é linear: a derivada da soma é a soma das derivadas.

Passo 4

Aplicando essas regras termo a termo à função C(x):
  • A derivada de 500 (constante) é 0.
  • A derivada de 20x (termo linear) é 20.
  • A derivada de -0,05x^{2} pela regra do poder é -0,05\cdot 2\cdot x^{1}=-0,10x.
Portanto, juntando:
C'(x)=0+20-0,10x=20-0,10x.

Passo 5

Agora avaliamos a derivada em x=20:
C'(20)=20-0,10\cdot 20.
Calculemos a multiplicação: 0,10\cdot 20=2. Logo
C'(20)=20-2=18.

Passo 6

Interpretação prática (importantíssimo para a prova): C'(20)=18 significa que, quando a produção está em 20 peças, aumentar a produção em uma peça a mais aumenta o custo em aproximadamente 18 reais. Em linguagem de economia/gestão, esse é o custo marginal no nível de produção x=20.

Resposta

\;18\\ \text{R\$ por peça}ç

Exercícios relacionados