Questão 4. A temperatura
, em graus Celsius, em um ponto de uma placa metálica é dada por
a) Calcule a taxa de variação da temperatura na direção do eixo
.
b) Calcule a taxa de variação da temperatura na direção do eixo
.
c) Interprete fisicamente os resultados no ponto (
).
b) Calcule a taxa de variação da temperatura na direção do eixo
c) Interprete fisicamente os resultados no ponto (
Passo 1
O enunciado nos dá a temperatura numa placa metálica como função de duas variáveis:
Pede-se:
- (a) calcular a taxa de variação da temperatura na direção do eixo
; - (b) calcular a taxa de variação da temperatura na direção do eixo
; - (c) interpretar fisicamente os resultados no ponto
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função
está explícita (já sabemos em função de e ). - O ponto de interesse para a interpretação é
. - Não há unidades explícitas para
e ; a unidade da taxa será graus Celsius por unidade de comprimento (da mesma unidade de ).
Passo 2
O que significa "taxa de variação da temperatura na direção do eixo
"?
Explicação didática: a taxa de variação de na direção do eixo
é a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
. A derivada parcial
mede como
muda quando se varia
mantendo
fixo — isto é, se deslocar ao longo de uma linha paralela ao eixo
. Para calcular, trata-se
como constante e deriva-se a função em
normalmente.
Explicação didática: a taxa de variação de
Aplicando isso em
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - Os termos
e são constantes em , então sua derivada em relação a é .
Portanto,
Agora avalio no ponto
. Substituo
:
Passo 3
Agora a taxa de variação na direção do eixo
.
Explicação didática: a derivada parcial mede como
muda quando se varia
mantendo
fixo — isto é, deslocamento ao longo de uma linha paralela ao eixo
. Para calcular, trata-se
como constante e deriva-se em relação a
.
Explicação didática: a derivada parcial
Aplicando a
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - Os termos dependentes só de
têm derivada zero em relação a .
Portanto,
Avalio no ponto
. Substituo
:
Passo 4
Interpretação física (passo a passo, sem pular etapas):
- A derivada parcial
significa: se eu me mover uma pequena distância na direção positiva de (isto é, para a direita) mantendo fixo em , a variação aproximada da temperatura é
Ou seja, para cada unidade que eu andar no sentido positivo de
a temperatura diminui cerca de
grau Celsius (por unidade de comprimento). Exemplo concreto: se eu andar
unidades em
para a direita, a temperatura cai aproximadamente
°C.
- A derivada parcial
significa: se eu me mover uma pequena distância na direção positiva de (isto é, para cima) mantendo fixo em , a variação aproximada da temperatura é
Ou seja, para cada unidade que eu andar no sentido positivo de
a temperatura diminui cerca de
°C. Exemplo: ao andar
unidades em
para cima, a temperatura cai aproximadamente
°C.
-
Observação sobre sinais: como ambas derivadas são negativas no ponto
, a temperatura diminui se me mover nas direções positivas de ou . Se eu me mover nas direções negativas (esquerda ou para baixo), a temperatura vai aumentar, na medida linear pequena dada pelos mesmos valores com sinal invertido. -
Informação extra (útil na prova): o vetor gradiente
em vale
o que indica a direção de maior aumento de temperatura (aqui apontando no sentido oposto ao das componentes negativas) e cujo módulo dá a taxa máxima de aumento por unidade de deslocamento. Mas para esta questão pediram apenas as taxas ao longo dos eixos, que já calculamos.
Força final: você já sabe aplicar derivadas parciais — trate a outra variável como constante, derive como uma função de uma variável só, e interprete o sinal e o valor como taxa de variação por unidade de deslocamento. Vai dar bom na prova!
Resposta
(a)
, então
(b) , então
(c) No ponto : movendo-se uma pequena distância
na direção positiva de
a temperatura varia aproximadamente
°C (diminui
°C por unidade em
); movendo-se uma pequena distância
na direção positiva de
a temperatura varia aproximadamente
°C (diminui
°C por unidade em
).
(b)
(c) No ponto