Questão 4. A temperatura T(x, y), em graus Celsius, em um ponto de uma placa metálica é dada por
T(x, y)=x^{2}+3 y^{2}-4 x+2 y .
a) Calcule a taxa de variação da temperatura na direção do eixo x.
b) Calcule a taxa de variação da temperatura na direção do eixo y.
c) Interprete fisicamente os resultados no ponto ( 1,-1 ).

Passo 1

O enunciado nos dá a temperatura numa placa metálica como função de duas variáveis:
T(x,y)=x^{2}+3y^{2}-4x+2y.
Pede-se:
  • (a) calcular a taxa de variação da temperatura na direção do eixo x;
  • (b) calcular a taxa de variação da temperatura na direção do eixo y;
  • (c) interpretar fisicamente os resultados no ponto (1,-1).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função T(x,y) está explícita (já sabemos T em função de x e y).
  • O ponto de interesse para a interpretação é (1,-1).
  • Não há unidades explícitas para x e y; a unidade da taxa será graus Celsius por unidade de comprimento (da mesma unidade de x,y).

Passo 2

O que significa "taxa de variação da temperatura na direção do eixo x"?
Explicação didática: a taxa de variação de T na direção do eixo x é a derivada parcial de T em relação a x, denotada por \dfrac{\partial T}{\partial x}. A derivada parcial \dfrac{\partial T}{\partial x} mede como T muda quando se varia x mantendo y fixo — isto é, se deslocar ao longo de uma linha paralela ao eixo x. Para calcular, trata-se y como constante e deriva-se a função em x normalmente.
Aplicando isso em T(x,y)=x^{2}+3y^{2}-4x+2y:
  • A derivada de x^{2} em relação a x é 2x.
  • A derivada de -4x em relação a x é -4.
  • Os termos 3y^{2} e 2y são constantes em x, então sua derivada em relação a x é 0.
Portanto,
\frac{\partial T}{\partial x}=2x-4.
Agora avalio no ponto (1,-1). Substituo x=1:
\frac{\partial T}{\partial x}(1,-1)=2\cdot 1-4=-2.

Passo 3

Agora a taxa de variação na direção do eixo y.
Explicação didática: a derivada parcial \dfrac{\partial T}{\partial y} mede como T muda quando se varia y mantendo x fixo — isto é, deslocamento ao longo de uma linha paralela ao eixo y. Para calcular, trata-se x como constante e deriva-se em relação a y.
Aplicando a T(x,y):
  • A derivada de 3y^{2} em relação a y é 6y.
  • A derivada de 2y em relação a y é 2.
  • Os termos dependentes só de x têm derivada zero em relação a y.
Portanto,
\frac{\partial T}{\partial y}=6y+2.
Avalio no ponto (1,-1). Substituo y=-1:
\frac{\partial T}{\partial y}(1,-1)=6\cdot(-1)+2=-6+2=-4.

Passo 4

Interpretação física (passo a passo, sem pular etapas):
  • A derivada parcial \dfrac{\partial T}{\partial x}(1,-1)=-2 significa: se eu me mover uma pequena distância \Delta x na direção positiva de x (isto é, para a direita) mantendo y fixo em -1, a variação aproximada da temperatura é
\Delta T \approx \frac{\partial T}{\partial x}(1,-1)\,\Delta x = -2\,\Delta x.
Ou seja, para cada unidade que eu andar no sentido positivo de x a temperatura diminui cerca de 2 grau Celsius (por unidade de comprimento). Exemplo concreto: se eu andar 0,5 unidades em x para a direita, a temperatura cai aproximadamente 2\cdot 0,5=1 °C.
  • A derivada parcial \dfrac{\partial T}{\partial y}(1,-1)=-4 significa: se eu me mover uma pequena distância \Delta y na direção positiva de y (isto é, para cima) mantendo x fixo em 1, a variação aproximada da temperatura é
\Delta T \approx \frac{\partial T}{\partial y}(1,-1)\,\Delta y = -4\,\Delta y.
Ou seja, para cada unidade que eu andar no sentido positivo de y a temperatura diminui cerca de 4 °C. Exemplo: ao andar 0,25 unidades em y para cima, a temperatura cai aproximadamente 4\cdot 0,25=1 °C.
  • Observação sobre sinais: como ambas derivadas são negativas no ponto (1,-1), a temperatura diminui se me mover nas direções positivas de x ou y. Se eu me mover nas direções negativas (esquerda ou para baixo), a temperatura vai aumentar, na medida linear pequena dada pelos mesmos valores com sinal invertido.
  • Informação extra (útil na prova): o vetor gradiente \nabla T=(\dfrac{\partial T}{\partial x},\dfrac{\partial T}{\partial y}) em (1,-1) vale
\nabla T(1,-1)=(-2,-4),
o que indica a direção de maior aumento de temperatura (aqui apontando no sentido oposto ao das componentes negativas) e cujo módulo dá a taxa máxima de aumento por unidade de deslocamento. Mas para esta questão pediram apenas as taxas ao longo dos eixos, que já calculamos.
Força final: você já sabe aplicar derivadas parciais — trate a outra variável como constante, derive como uma função de uma variável só, e interprete o sinal e o valor como taxa de variação por unidade de deslocamento. Vai dar bom na prova!

Resposta

(a) \dfrac{\partial T}{\partial x}=2x-4, então \dfrac{\partial T}{\partial x}(1,-1)=-2.
(b) \dfrac{\partial T}{\partial y}=6y+2, então \dfrac{\partial T}{\partial y}(1,-1)=-4.
(c) No ponto (1,-1): movendo-se uma pequena distância \Delta x na direção positiva de x a temperatura varia aproximadamente -2\,\Delta x °C (diminui 2 °C por unidade em x); movendo-se uma pequena distância \Delta y na direção positiva de y a temperatura varia aproximadamente -4\,\Delta y °C (diminui 4 °C por unidade em y).

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