Expliquei: essas fórmulas vêm de integrar por partes a definição da Laplace aplicando f'(t), e são o que nos permite incorporar as condições iniciais diretamente no domínio de s.
Colocando em único quociente: faço o numerador com denominador comum s-2,
Y(s)=\frac{4-(3s-14)(s-2)}{(s-1)(s-2)^2}.
Expando o numerador:
(3s-14)(s-2)=3s^2-20s+28,
então
4-(3s^2-20s+28)=-3s^2+20s-24.
Portanto
Y(s)=\frac{-3s^2+20s-24}{(s-1)(s-2)^2}.
Passo 5
Fazer decomposição em frações parciais para inverter a transformada. Como o denominador tem um fator simples (s-1)\) e um fator quadrado \((s-2)^2\), uso a forma:
\[\frac{-3s^2+20s-24}{(s-1)(s-2)^2}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s-2}+\frac{C}{(s-2)^2}.
Multiplicando pelos denominadores obtemos a identidade polinomial:
-3s^2+20s-24 = A(s-2)^2 + B(s-1)(s-2) + C(s-1).
Expandindo e coletando coeficientes:
A(s^2-4s+4)+B(s^2-3s+2)+C(s-1).
Comparando coeficientes de potências de s resulta o sistema
Resolvo: da primeira equação (A=-3-B]. Substituindo nas outras ou resolvendo direto encontra-se B=4,\qquad A=-7,\qquad C=4.
Logo a decomposição é Y(s)=-\frac{7}{s-1}+\frac{4}{s-2}+\frac{4}{(s-2)^2}.]
Passo 6
Aplicar a transformada inversa termo a termo, usando as pares conhecidos: