Questão 5. (2.0 Pts) Usando transformada de Laplace, resolver
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=4 e^{2 t}
com condições iniciais y(0)=-3 e y^{\prime}(0)=5.

Passo 1

Enunciado e dados (copiados do problema):
  • Equação diferencial: y''-3y'+2y=4e^{2t}.
  • Condições iniciais: y(0)=-3,\qquad y'(0)=5.
O que o problema pede: encontrar a solução y(t) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais, usando transformada de Laplace.

Passo 2

Breve aula sobre a transformada de Laplace e propriedades que usarei:
  • Definição: para uma função f(t) (para t\ge0),
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.
Aqui vou denotar \mathcal{L}\{y(t)\}(s)=Y(s).
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f+b g\}=a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}.
  • Derivadas (fórmulas essenciais para EDO com condições iniciais):
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0), \qquad \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0).
Expliquei: essas fórmulas vêm de integrar por partes a definição da Laplace aplicando f'(t), e são o que nos permite incorporar as condições iniciais diretamente no domínio de s.
  • Transformada de exponencial:
\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a},\qquad \text{(para Re}(s)>a).
  • Transformada inversa usada: \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-a}\}=e^{at} e \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{(s-a)^2}\}=t e^{at}.

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, temos:
\mathcal{L}\{y''\}-3\mathcal{L}\{y'\}+2\mathcal{L}\{y\}=\mathcal{L}\{4e^{2t}\}.
Usando as fórmulas das derivadas e a condição inicial:
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0)=s^2Y(s)-s(-3)-5=s^2Y(s)+3s-5,
\mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0)=sY(s)-(-3)=sY(s)+3,
\mathcal{L}\{y\}=Y(s),
\mathcal{L}\{4e^{2t}\}=\frac{4}{s-2}.
Substituindo tudo:
\big(s^2Y+3s-5\big)-3\big(sY+3\big)+2Y=\frac{4}{s-2}.

Passo 4

Simplificar a expressão algébrica obtida no passo anterior:
Primeiro agrupar termos em Y(s) e termos independentes:
s^2Y-3sY+2Y \;\;+\;\; 3s-5 -9 \;=\; \frac{4}{s-2}.
Notei que -3\cdot 3=-9. Então
Y(s)\big(s^2-3s+2\big) + (3s-14)=\frac{4}{s-2}.
Como s^2-3s+2=(s-1)(s-2), isolo Y(s):
Y(s)=\frac{\dfrac{4}{s-2}-(3s-14)}{(s-1)(s-2)}.
Colocando em único quociente: faço o numerador com denominador comum s-2,
Y(s)=\frac{4-(3s-14)(s-2)}{(s-1)(s-2)^2}.
Expando o numerador:
(3s-14)(s-2)=3s^2-20s+28,
então
4-(3s^2-20s+28)=-3s^2+20s-24.
Portanto
Y(s)=\frac{-3s^2+20s-24}{(s-1)(s-2)^2}.

Passo 5

Fazer decomposição em frações parciais para inverter a transformada. Como o denominador tem um fator simples (s-1)\) e um fator quadrado \((s-2)^2\), uso a forma: \[\frac{-3s^2+20s-24}{(s-1)(s-2)^2}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s-2}+\frac{C}{(s-2)^2}.
Multiplicando pelos denominadores obtemos a identidade polinomial:
-3s^2+20s-24 = A(s-2)^2 + B(s-1)(s-2) + C(s-1).
Expandindo e coletando coeficientes:
A(s^2-4s+4)+B(s^2-3s+2)+C(s-1).
Comparando coeficientes de potências de s resulta o sistema
\begin{cases} A+B=-3,\\[4pt] -4A-3B+C=20,\\[4pt] 4A+2B-C=-24. \end{cases}
Resolvo: da primeira equação (A=-3-B]. Substituindo nas outras ou resolvendo direto encontra-se
B=4,\qquad A=-7,\qquad C=4.
Logo a decomposição é
Y(s)=-\frac{7}{s-1}+\frac{4}{s-2}+\frac{4}{(s-2)^2}.]

Passo 6

Aplicar a transformada inversa termo a termo, usando as pares conhecidos:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at},\qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s-a)^2}\right\}=t e^{at}.
Então
y(t)=-7\,e^{t}+4\,e^{2t}+4\,t e^{2t}.
Posso reescrever agrupando os termos em e^{2t}:
y(t)=-7e^{t}+4e^{2t}(1+t).

Resposta

y(t)=-7e^{t}+4e^{2t}+4t e^{2t}

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