Calcular as integrais.
\int_{1}^{4} \frac{d x}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{4} \frac{dx}{\sqrt{x}\,(\sqrt{x}+1)^{3}}.
Informações dadas e o que devemos encontrar:
  • O integrando é \dfrac{1}{\sqrt{x}\,(\sqrt{x}+1)^{3}}.
  • Os limites de integração são x=1 (inferior) e x=4 (superior).
  • Devemos calcular o valor numérico desta integral definida.

Passo 2

Escolher uma substituição conveniente. Aqui aparece \sqrt{x} no integrando, então uma substituição natural é
u=\sqrt{x}.
Explico por que: com u=\sqrt{x} eliminamos a raiz e a parte (\sqrt{x}+1) vira (u+1), simplificando muito a integral.
Agora relacionamos u e dx. Como u=\sqrt{x}, temos x=u^{2}. Diferenciando ambos os lados em relação a u obtemos dx=2u\,du. (Isto vem da regra da cadeia/diferenciação: \dfrac{d}{du}(u^2)=2u.)
Também mudamos os limites: quando x=1 temos u=\sqrt{1}=1; quando x=4 temos u=\sqrt{4}=2.
Substituindo tudo na integral:
\int_{1}^{4} \frac{dx}{\sqrt{x}\,(\sqrt{x}+1)^{3}} = \int_{u=1}^{u=2} \frac{2u\,du}{u\,(u+1)^{3}}.
Agora simplificamos o fator u no numerador e no denominador:
\int_{1}^{2} \frac{2}{(u+1)^{3}}\,du.

Passo 3

Calcular a primitiva. Escrevo a integral já simplificada:
\int_{1}^{2} \frac{2}{(u+1)^{3}}\,du.
Posso tirar a constante 2 para fora:
2\int_{1}^{2} (u+1)^{-3}\,du.
Uso a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui t=u+1 e n=-3. Como dt=du, temos
\int (u+1)^{-3}\,du=\frac{(u+1)^{-2}}{-2}+C.
Multiplicando pela constante 2:
2\cdot\frac{(u+1)^{-2}}{-2}=-(u+1)^{-2}.
Portanto uma primitiva válida é
F(u)=-\frac{1}{(u+1)^{2}}.

Passo 4

Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar de u=1 a u=2:
\int_{1}^{2} \frac{2}{(u+1)^{3}}\,du =F(2)-F(1) =-\frac{1}{(2+1)^{2}}-\left(-\frac{1}{(1+1)^{2}}\right).
Calculo passo a passo:
-\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{2^{2}} =-\frac{1}{9}+\frac{1}{4}.
Colocando em denominador comum 36:
-\frac{4}{36}+\frac{9}{36}=\frac{5}{36}.
Logo a integral vale \dfrac{5}{36}.

Passo 5

Resumo didático e dica rápida para a prova:
  • Identifiquei que a raiz \sqrt{x} sugere a substituição u=\sqrt{x} para simplificar completamente o integrando.
  • Ao fazer x=u^{2} e dx=2u\,du o integrando ficou proporcional a (u+1)^{-3}, que é direto de integrar pela regra da potência.
  • Sempre lembre de transformar também os limites quando faz integração definida por substituição — evita voltar ao x no final e reduz erros.

Resposta

\dfrac{5}{36}

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