Calcular as integrais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas e o que devemos encontrar:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior). - Devemos calcular o valor numérico desta integral definida.
Passo 2
Escolher uma substituição conveniente. Aqui aparece
no integrando, então uma substituição natural é
Explico por que: com
eliminamos a raiz e a parte
vira
, simplificando muito a integral.
Agora relacionamos
e
. Como
, temos
. Diferenciando ambos os lados em relação a
obtemos
. (Isto vem da regra da cadeia/diferenciação:
.)
Também mudamos os limites: quando
temos
; quando
temos
.
Substituindo tudo na integral:
Agora simplificamos o fator
no numerador e no denominador:
Passo 3
Calcular a primitiva. Escrevo a integral já simplificada:
Posso tirar a constante
para fora:
Uso a regra de potência para integrais: para
,
Aqui
e
. Como
, temos
Multiplicando pela constante
:
Portanto uma primitiva válida é
Passo 4
Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar de
a
:
Calculo passo a passo:
Colocando em denominador comum
:
Logo a integral vale
.
Passo 5
Resumo didático e dica rápida para a prova:
- Identifiquei que a raiz
sugere a substituição para simplificar completamente o integrando. - Ao fazer
e o integrando ficou proporcional a , que é direto de integrar pela regra da potência. - Sempre lembre de transformar também os limites quando faz integração definida por substituição — evita voltar ao
no final e reduz erros.