Questão 3. Dada as equações diferenciais abaixo, determine a expressão da sua solução temporal y(t) por meio da transformada de Laplace para uma entrada \mathrm{x}(\mathrm{t}) tipo degrau unitário e condições iniciais nulas. Para cada caso, determine o valor em regime permanente após a aplicação do degrau unitário (isto é: a entrada varia de 0 a 1 no instante de tempo igual a 0 segundos e permanece em 1 para tempos positivos).
\frac{\mathrm{d}^{2} \mathrm{y}(\mathrm{t})}{\mathrm{dt}^{2}}+9 \frac{\mathrm{dy}(\mathrm{t})}{\mathrm{dt}}+14 \mathrm{y}(\mathrm{t})=2 \mathrm{x}(\mathrm{t})

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem e pede duas coisas:
  • Encontrar a solução temporal \,y(t)\, usando transformada de Laplace para a entrada degrau unitário \,x(t)=1 (para t\ge 0) e condições iniciais nulas.
  • Encontrar o valor em regime permanente de \,y(t)\, (isto é \lim_{t\to\infty} y(t)).
Informações relevantes fornecidas:
  • Equação diferencial:
\frac{\mathrm{d}^{2} y(t)}{\mathrm{d}t^{2}} + 9\,\frac{\mathrm{d} y(t)}{\mathrm{d}t} + 14\,y(t) = 2\,x(t).
  • Entrada: \,x(t)=1 para t\ge 0 (degrau unitário).
  • Condições iniciais nulas: \,y(0)=0 e \,y'(0)=0.

Passo 2

Lembrete didático rápido sobre a transformada de Laplace (para não pular etapas):
  • Definição: a transformada de Laplace de uma função causal \,f(t)\, é
\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,f(t)\,\mathrm{d}t.
  • Propriedade linear: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\} = a F(s)+ b G(s).
  • Transformada de derivadas (importante para equações diferenciais):
\mathcal{L}\{f'(t)\} = s F(s) - f(0), \qquad \mathcal{L}\{f''(t)\} = s^{2} F(s) - s f(0) - f'(0).
Aqui F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} e f(0),f'(0) são as condições iniciais.
  • Transformada do degrau unitário \,u(t)=1: \mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{s}.
Como as condições iniciais são nulas ( y(0)=0,\;y'(0)=0), as fórmulas das derivadas simplificam bastante.

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial.
Deixando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} e usando \mathcal{L}\{x(t)\}=\mathcal{L}\{1\}=1/s, temos:
\mathcal{L}\{y''(t)\} + 9\,\mathcal{L}\{y'(t)\} +14\,\mathcal{L}\{y(t)\} = 2\,\mathcal{L}\{x(t)\}.
Com condições iniciais nulas:
(s^{2} Y(s)) + 9 (s Y(s)) + 14 Y(s) = 2\cdot\frac{1}{s}.
Fatorando Y(s):
Y(s)\bigl(s^{2} + 9s +14\bigr) = \frac{2}{s}.
Como \,s^{2}+9s+14=(s+7)(s+2)\,, isolamos Y(s):
Y(s)=\frac{2}{s\,(s+2)\,(s+7)}.

Passo 4

Vamos decompor Y(s) em frações parciais para inverter a transformada. Procuramos constantes A,B,C tais que
\frac{2}{s(s+2)(s+7)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{s+7}.
Multiplicando ambos os lados por s(s+2)(s+7) obtemos
2 = A (s+2)(s+7) + B\,s(s+7) + C\,s(s+2).
Para achar A,B,C é rápido usar valores de s que zeram fatores:
  • Em s=0: 2 = A\cdot(2)(7) então
A=\frac{2}{14}=\frac{1}{7}.
  • Em s=-2: 2 = B\cdot(-2)(5) então
B=\frac{2}{-10}=-\frac{1}{5}.
  • Em s=-7: 2 = C\cdot(-7)(-5) então
C=\frac{2}{35} = \frac{2}{35}.
Portanto a decomposição parcial é
Y(s)=\frac{1}{7}\cdot\frac{1}{s} - \frac{1}{5}\cdot\frac{1}{s+2} + \frac{2}{35}\cdot\frac{1}{s+7}.

Passo 5

Agora usamos transformadas inversas elementares:
  • \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s}\}=1 (degrau unitário),
  • \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s+a}\}=e^{-a t}.
Aplicando termo a termo:
y(t) = \frac{1}{7}\cdot 1 \;-\; \frac{1}{5}\,e^{-2 t} \;+\; \frac{2}{35}\,e^{-7 t},\qquad t\ge 0.
Se preferir escrever com denominador comum 35:
y(t)=\frac{1}{35}\Bigl(5 - 7 e^{-2 t} + 2 e^{-7 t}\Bigr).

Passo 6

Valor em regime permanente (checar de duas maneiras):
  1. Observando a expressão de y(t): quando t\to\infty os termos exponenciais vão a zero, logo
\lim_{t\to\infty} y(t) = \frac{1}{7}.
  1. (Verificação com Teorema do Valor Final) O teorema do valor final diz que, se apropriado,
\lim_{t\to\infty} y(t) = \lim_{s\to 0} s Y(s).
Aplicando a Y(s)=\dfrac{2}{s(s+2)(s+7)} obtemos
\lim_{s\to 0} s Y(s) = \lim_{s\to 0} \frac{2}{(s+2)(s+7)} = \frac{2}{2\cdot 7}=\frac{1}{7},
mesmo resultado.

Resposta

y(t)=\frac{1}{7}-\frac{1}{5}e^{-2t}+\frac{2}{35}e^{-7t},\qquad t\ge 0
\lim_{t\to\infty} y(t)=\frac{1}{7}

Exercícios relacionados