Questão 3. Dada as equações diferenciais abaixo, determine a expressão da sua solução temporal y(t) por meio da transformada de Laplace para uma entrada
tipo degrau unitário e condições iniciais nulas. Para cada caso, determine o valor em regime permanente após a aplicação do degrau unitário (isto é: a entrada varia de 0 a 1 no instante de tempo igual a 0 segundos e permanece em 1 para tempos positivos).
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem e pede duas coisas:
- Encontrar a solução temporal
usando transformada de Laplace para a entrada degrau unitário (para ) e condições iniciais nulas. - Encontrar o valor em regime permanente de
(isto é ).
Informações relevantes fornecidas:
- Equação diferencial:
- Entrada:
para (degrau unitário). - Condições iniciais nulas:
e .
Passo 2
Lembrete didático rápido sobre a transformada de Laplace (para não pular etapas):
- Definição: a transformada de Laplace de uma função causal
é
- Propriedade linear:
. - Transformada de derivadas (importante para equações diferenciais):
Aqui
e
são as condições iniciais.
- Transformada do degrau unitário
:
Como as condições iniciais são nulas (
), as fórmulas das derivadas simplificam bastante.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial.
Deixando
e usando
, temos:
Com condições iniciais nulas:
Fatorando
:
Como
, isolamos
:
Passo 4
Vamos decompor
em frações parciais para inverter a transformada. Procuramos constantes
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Para achar
é rápido usar valores de
que zeram fatores:
- Em
: então
- Em
: então
- Em
: então
Portanto a decomposição parcial é
Passo 5
Agora usamos transformadas inversas elementares:
-
(degrau unitário), -
.
Aplicando termo a termo:
Se preferir escrever com denominador comum
:
Passo 6
Valor em regime permanente (checar de duas maneiras):
- Observando a expressão de
: quando os termos exponenciais vão a zero, logo
- (Verificação com Teorema do Valor Final) O teorema do valor final diz que, se apropriado,
Aplicando a
obtemos
mesmo resultado.