Questão 7. Dada
, determine
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o valor da derivada da inversa de
em
, ou seja,
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é
. - O que se quer é
, isto é, a derivada da função inversa no ponto . - Para obter esse valor precisamos conhecer o ponto
tal que (pois ), e a derivada de naquele .
Passo 2
Fórmula que vamos usar (aula rápida): se
tem inversa diferenciável em
e
, então vale a fórmula
Explicando por que isso é verdade (passo a passo, sem pular): comece da identidade entre
e sua inversa,
Diferenciando ambos os lados em relação a
e aplicando a regra da cadeia, obtemos
Isolando
vem exatamente
Aqui cada símbolo significa:
-
é o valor no eixo vertical onde queremos a derivada da inversa (aqui ); -
é o ponto no domínio original tal que ; -
é a derivada de em .
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso: para
temos
onde
é o número que satisfaz
ou seja,
.
Também precisamos da expressão de
. Diferenciando
obtemos
Portanto a fórmula fica
com
satisfazendo
.
Passo 4
Agora vamos encontrar numericamente
com um método simples (Newton), que é rápido na prática e dá número que eu posso usar na prova sem calculadora fazendo poucas iterações cuidadas.
Definimos a função para achar raiz:
Queremos
. A iteração de Newton é
onde
(nota: é exatamente
).
Escolhemos uma aproximação inicial intuitiva:
(pois
e
, então a raiz fica entre
e
).
Passo 5
Primeira iteração de Newton (detalhando contas para você poder reproduzir à mão):
Calcule . Usando
,
Calcule
Calcule
. Usando
,
Aplicando Newton:
Passo 6
Segunda iteração (para refinar; uma iteração já dá boa precisão, mas faremos mais uma):
Calcule e
. Podemos usar aproximação por expansão linear a partir de
:
Calcule
usando
e
,
Então
E
usando
. Com números:
Logo
Aplicando Newton novamente:
Portanto a raiz está aproximadamente
Passo 7
Agora calculamos
usando
.
Usando a aproximação de
obtida:
então
E finalmente