Questão 7. Dada f(x)=x+\sin (x), determine \left(f^{-1}\right)^{\prime}(1).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x+\sin(x) e pede o valor da derivada da inversa de f em 1, ou seja, \left(f^{-1}\right)^{\prime}(1).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é f(x)=x+\sin(x).
  • O que se quer é \left(f^{-1}\right)^{\prime}(1), isto é, a derivada da função inversa no ponto y=1.
  • Para obter esse valor precisamos conhecer o ponto x_0 tal que f(x_0)=1 (pois x_0=f^{-1}(1)), e a derivada de f naquele x_0.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (aula rápida): se f tem inversa diferenciável em y e x=f^{-1}(y), então vale a fórmula
(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(x)}.
Explicando por que isso é verdade (passo a passo, sem pular): comece da identidade entre f e sua inversa,
f\big(f^{-1}(y)\big)=y.
Diferenciando ambos os lados em relação a y e aplicando a regra da cadeia, obtemos
f'\big(f^{-1}(y)\big)\cdot (f^{-1})'(y)=1.
Isolando (f^{-1})'(y) vem exatamente
(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'\big(f^{-1}(y)\big)}.
Aqui cada símbolo significa:
  • y é o valor no eixo vertical onde queremos a derivada da inversa (aqui y=1);
  • x=f^{-1}(y) é o ponto no domínio original tal que f(x)=y;
  • f'(x) é a derivada de f em x.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: para y=1 temos
\left(f^{-1}\right)'(1)=\frac{1}{f'(x_0)},
onde x_0 é o número que satisfaz
x_0+\sin(x_0)=1,
ou seja, x_0=f^{-1}(1).
Também precisamos da expressão de f'(x). Diferenciando f(x)=x+\sin(x) obtemos
f'(x)=1+\cos(x).
Portanto a fórmula fica
\left(f^{-1}\right)'(1)=\frac{1}{1+\cos(x_0)},
com x_0 satisfazendo x_0+\sin(x_0)=1.

Passo 4

Agora vamos encontrar numericamente x_0 com um método simples (Newton), que é rápido na prática e dá número que eu posso usar na prova sem calculadora fazendo poucas iterações cuidadas.
Definimos a função para achar raiz:
g(x)=x+\sin(x)-1.
Queremos g(x_0)=0. A iteração de Newton é
x_{n+1}=x_n-\frac{g(x_n)}{g'(x_n)},
onde g'(x)=1+\cos(x) (nota: é exatamente f'(x)).
Escolhemos uma aproximação inicial intuitiva: x_0^{(0)}=0{,}5 (pois f(0{,}5)=0{,}5+\sin(0{,}5)\approx0{,}5+0{,}4794=0{,}9794<1 e f(0{,}6)>1, então a raiz fica entre 0{,}5 e 0{,}6).

Passo 5

Primeira iteração de Newton (detalhando contas para você poder reproduzir à mão):
Calcule g(0{,}5)=0{,}5+\sin(0{,}5)-1. Usando \sin(0{,}5)\approx0{,}4794255,
g(0{,}5)\approx0{,}5+0{,}4794255-1=-0{,}0205745.
Calcule g'(0{,}5)=1+\cos(0{,}5). Usando \cos(0{,}5)\approx0{,}8775826,
g'(0{,}5)\approx1+0{,}8775826=1{,}8775826.
Aplicando Newton:
x_1=0{,}5-\frac{-0{,}0205745}{1{,}8775826}\approx0{,}5+0{,}010960\approx0{,}510960.

Passo 6

Segunda iteração (para refinar; uma iteração já dá boa precisão, mas faremos mais uma):
Calcule \sin(0{,}510960) e \cos(0{,}510960). Podemos usar aproximação por expansão linear a partir de 0{,}5:
\sin(0{,}51096)\approx\sin(0{,}5)+(0{,}01096)\cos(0{,}5)
usando \sin(0{,}5)\approx0{,}4794255 e \cos(0{,}5)\approx0{,}8775826,
\sin(0{,}51096)\approx0{,}4794255+0{,}01096\cdot0{,}8775826\approx0{,}4794255+0{,}009615\approx0{,}489041.
Então
g(0{,}51096)\approx0{,}51096+0{,}489041-1\approx0{,}000001.
E
g'(0{,}51096)=1+\cos(0{,}51096)\approx1+( \cos(0{,}5)-0{,}01096\sin(0{,}5) )
usando \cos'(x)=-\sin(x). Com números:
\cos(0{,}51096)\approx0{,}8775826-0{,}01096\cdot0{,}4794255\approx0{,}8775826-0{,}005255\approx0{,}872328.
Logo
g'(0{,}51096)\approx1{,}872328.
Aplicando Newton novamente:
x_2\approx0{,}51096-\frac{0{,}000001}{1{,}872328}\approx0{,}51096-0{,}0000005\approx0{,}5109595.
Portanto a raiz está aproximadamente
x_0\approx0{,}51096.

Passo 7

Agora calculamos \left(f^{-1}\right)'(1)=\dfrac{1}{1+\cos(x_0)} usando x_0\approx0{,}51096.
Usando a aproximação de \cos(0{,}51096) obtida:
\cos(x_0)\approx0{,}872328,
então
1+\cos(x_0)\approx1{,}872328.
E finalmente
\left(f^{-1}\right)'(1)\approx\frac{1}{1{,}872328}\approx0{,}53416.

Resposta

0,53416

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