Questão 4. Seja
. Calcule
.
Passo 1
O enunciado dá a função
Pede para calcular a derivada
.
Informações relevantes: a função é uma potência de uma função polinomial; o expoente é .
Informações relevantes: a função é uma potência de uma função polinomial; o expoente é
Passo 2
Vamos lembrar a regra que usamos aqui (explicando bem devagar): quando temos uma função composta do tipo
com
um número (inteiro, por exemplo) e
uma função diferenciável, a derivada é dada pela regra da cadeia. Em fórmulas:
Aqui cada símbolo significa:
é a função interna (aquela que está sendo elevada),
é o expoente,
é a derivada da função interna, e
é a derivada da composta. A ideia intuitiva: derivamos a potência como se fosse
(a regra do poder) e multiplicamos pela derivada do que está dentro (a parte da cadeia).
Passo 3
Identificamos a função interna
e o expoente
:
Passo 4
Agora precisamos de
. Para isso usamos a regra do poder para cada termo do polinômio: a derivada de
é
, e derivada de uma constante é
. Aplicando termo a termo:
Somando os termos, obtemos
Passo 5
Aplicamos a regra da cadeia à função original. Usando a fórmula do Passo 2 com
e
encontrados:
Passo 6
Vamos simplificar um pouco o fator
. Note que
. Substituindo:
Multiplicando os escalares
e
:
Passo 7
Para fixar a ideia, um exemplo menor: se tivéssemos
, por analogia
. É a mesma mecânica: derivar a potência e multiplicar pela derivada do interior.