Questão 4. Seja f(x)=\left(3 x^{2}+2 x+1\right)^{10}. Calcule f^{\prime}(x).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\left(3x^{2}+2x+1\right)^{10}.
Pede para calcular a derivada f^{\prime}(x).
Informações relevantes: a função é uma potência de uma função polinomial; o expoente é \,10.

Passo 2

Vamos lembrar a regra que usamos aqui (explicando bem devagar): quando temos uma função composta do tipo \,f(x)=\big(u(x)\big)^{n}\, com n um número (inteiro, por exemplo) e u(x) uma função diferenciável, a derivada é dada pela regra da cadeia. Em fórmulas:
\text{Se } f(x)=\big(u(x)\big)^{n}, \quad\text{então}\quad f'(x)=n\big(u(x)\big)^{\,n-1}\cdot u'(x).ã
Aqui cada símbolo significa: u(x) é a função interna (aquela que está sendo elevada), n é o expoente, u'(x) é a derivada da função interna, e f'(x) é a derivada da composta. A ideia intuitiva: derivamos a potência como se fosse x^n (a regra do poder) e multiplicamos pela derivada do que está dentro (a parte da cadeia).

Passo 3

Identificamos a função interna \,u(x) e o expoente \,n:
u(x)=3x^{2}+2x+1,\qquad n=10.

Passo 4

Agora precisamos de u'(x). Para isso usamos a regra do poder para cada termo do polinômio: a derivada de x^{k} é k x^{k-1}, e derivada de uma constante é 0. Aplicando termo a termo:
\frac{d}{dx}\big(3x^{2}\big)=3\cdot 2x^{1}=6x,
\frac{d}{dx}\big(2x\big)=2,
\frac{d}{dx}\big(1\big)=0.
Somando os termos, obtemos
u'(x)=6x+2.

Passo 5

Aplicamos a regra da cadeia à função original. Usando a fórmula do Passo 2 com u(x) e u'(x) encontrados:
f'(x)=10\big(3x^{2}+2x+1\big)^{9}\cdot(6x+2).

Passo 6

Vamos simplificar um pouco o fator (6x+2). Note que (6x+2)=2(3x+1). Substituindo:
f'(x)=10\big(3x^{2}+2x+1\big)^{9}\cdot 2(3x+1).
Multiplicando os escalares 10 e 2:
f'(x)=20\big(3x^{2}+2x+1\big)^{9}(3x+1).

Passo 7

Para fixar a ideia, um exemplo menor: se tivéssemos g(x)=(x^{2}+1)^{3}, por analogia \,g'(x)=3(x^{2}+1)^{2}\cdot 2x=6x(x^{2}+1)^{2}. É a mesma mecânica: derivar a potência e multiplicar pela derivada do interior.

Resposta

f'(x)=20\big(3x^{2}+2x+1\big)^{9}(3x+1)

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