Questão 2. Determine
para
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine a derivada de
em relação a
para a função
Informações dadas:
O que é pedido:
Determinar , ou seja, a derivada de
em relação a
.
Determinar
Passo 2
Identificamos que a função é composta: primeiro temos
, depois
e por fim
. Sempre que a função é composta em camadas assim, usamos a regra da cadeia. Vou explicar a regra da cadeia de forma didática.
Regra da cadeia (explicação): se
e
depende de
, então a derivada de
é a derivada de
avaliada em
vezes a derivada de
. Em fórmula:
Aqui
é qualquer função de
, e
é a derivada de
em relação a
. A razão é que a derivada de
em relação a
é
; pela cadeia multiplica-se por
.
Passo 3
Aplique essa regra com
. Então, pela fórmula da cadeia para o logaritmo:
Agora precisamos calcular
. Isso também é cadeia: se
então
porque a derivada de
em relação a
é
.
Passo 4
No nosso caso
. A derivada de
é
Aplicando ao u:
Passo 5
Substituímos
e
na expressão do Passo 3:
Agora simplificamos usando
:
Prontinho — essa é a forma simplificada da derivada. Se na prova pedirem, vale também deixar como
. Você mandou bem chegando até aqui — respira e segue que dá tempo!