Questão 2. Determine \frac{d y}{d x} para y=\ln (\cos (5 x)).

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a derivada de y em relação a x para a função
y=\ln\big(\cos(5x)\big).
Informações dadas:
y=\ln\big(\cos(5x)\big).
O que é pedido:
Determinar \dfrac{dy}{dx}, ou seja, a derivada de y em relação a x.

Passo 2

Identificamos que a função é composta: primeiro temos v(x)=5x, depois \cos(v) e por fim \ln(\cdot). Sempre que a função é composta em camadas assim, usamos a regra da cadeia. Vou explicar a regra da cadeia de forma didática.
Regra da cadeia (explicação): se y=\ln(u(x)) e u depende de x, então a derivada de y é a derivada de \ln avaliada em u vezes a derivada de u. Em fórmula:
\frac{d}{dx}\big(\ln(u(x))\big)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui u(x) é qualquer função de x, e u'(x) é a derivada de u em relação a x. A razão é que a derivada de \ln(t) em relação a t é 1/t; pela cadeia multiplica-se por dt/dx.

Passo 3

Aplique essa regra com u(x)=\cos(5x). Então, pela fórmula da cadeia para o logaritmo:
\frac{dy}{dx}=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{\dfrac{d}{dx}\big(\cos(5x)\big)}{\cos(5x)}.
Agora precisamos calcular \dfrac{d}{dx}\big(\cos(5x)\big). Isso também é cadeia: se u(x)=\cos(v(x)) então
\frac{d}{dx}\big(\cos(v(x))\big)=-\sin(v(x))\cdot v'(x),
porque a derivada de \cos(t) em relação a t é -\sin(t).

Passo 4

No nosso caso v(x)=5x. A derivada de v(x) é
v'(x)=\frac{d}{dx}(5x)=5.
Aplicando ao u:
\frac{d}{dx}\big(\cos(5x)\big)=-\sin(5x)\cdot 5=-5\sin(5x).

Passo 5

Substituímos u'(x) e u(x) na expressão do Passo 3:
\frac{dy}{dx}=\frac{-5\sin(5x)}{\cos(5x)}.
Agora simplificamos usando \tan(t)=\dfrac{\sin(t)}{\cos(t)}:
\frac{dy}{dx}=-5\tan(5x).
Prontinho — essa é a forma simplificada da derivada. Se na prova pedirem, vale também deixar como \dfrac{-5\sin(5x)}{\cos(5x)}. Você mandou bem chegando até aqui — respira e segue que dá tempo!

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=-5\tan(5x)

Exercícios relacionados