Questão 5: Dada a função y=\frac{x^{3 / 4} \sqrt{x^{2}+1}}{(3 x+2)^{5}}, calcule \frac{d y}{d x}.

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\frac{x^{3/4}\sqrt{x^{2}+1}}{(3x+2)^{5}}
e pede para calcular \frac{dy}{dx}, ou seja, a derivada de y em relação a x.
Informações relevantes fornecidas:
y = x^{3/4}\,(x^{2}+1)^{1/2}\,(3x+2)^{-5}.
O que é pedido:
  • Encontrar \dfrac{dy}{dx} em termos de x.

Passo 2

Vamos escolher um método para derivar: aqui é muito conveniente usar a diferenciação logarítmica. Vou explicar por que e como funciona antes de aplicar.
Ideia da diferenciação logarítmica:
  • Quando uma função é produto de fatores que são potências ou funções compostas, tomar o logaritmo natural transforma produto em soma de termos mais simples.
  • Depois diferenciamos ambos os lados; pela regra da cadeia, \dfrac{d}{dx}(\ln y)=\dfrac{y'}{y}. Assim obtemos y'/y como soma de termos simples, e então isolamos y' multiplicando por y.
Observação importante sobre domínio (motivo da técnica): para aplicar \ln y precisamos de y>0. No nosso caso, para valores reais, \,x^{3/4} exige x\ge0 (para obter valor real) e os demais fatores são positivos para x\ge0, então a técnica é válida em x>0. Em prova, lembre-se de checar domínio sempre que aplicar logaritmo.

Passo 3

Reescrevendo a função explicitamente como produto de potências para facilitar o uso do logaritmo:
y = x^{3/4}\,(x^{2}+1)^{1/2}\,(3x+2)^{-5}.
Agora aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados.

Passo 4

Tomando \ln em ambos os lados e usando a propriedade \ln(ab)=\ln a+\ln b:
\ln y = \frac{3}{4}\ln x + \frac{1}{2}\ln(x^{2}+1) -5\ln(3x+2).
Explicação das propriedades usadas:
  • \ln(x^{3/4})=(3/4)\ln x porque \ln(u^{a})=a\ln u.
  • Produtos se transformam em soma de logaritmos, o que simplifica a diferenciação.

Passo 5

Diferenciamos ambos os lados em relação a x. À esquerda aplicamos a regra da cadeia para \ln y:
\frac{d}{dx}(\ln y)=\frac{y'}{y}.
À direita diferenciamos termo a termo. Vou lembrar as regras usadas:
  • \dfrac{d}{dx}(\ln u(x))=\dfrac{u'(x)}{u(x)} (regra da cadeia).
  • Derivada de \ln x é 1/x.
  • Para \ln(x^{2}+1) usamos u(x)=x^{2}+1 e u'(x)=2x.
  • Para \ln(3x+2) usamos u(x)=3x+2 e u'(x)=3.
Aplicando isso, obtemos:
\frac{y'}{y} = \frac{3}{4}\cdot\frac{1}{x} \;+\; \frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{x^{2}+1} \;-\;5\cdot\frac{3}{3x+2}.

Passo 6

Simplificamos cada termo da soma:
  • \dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{4x}.
  • \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2x}{x^{2}+1}=\dfrac{x}{x^{2}+1}.
  • -5\cdot\dfrac{3}{3x+2}=-\dfrac{15}{3x+2}.
Portanto:
\frac{y'}{y} = \frac{3}{4x} + \frac{x}{x^{2}+1} - \frac{15}{3x+2}.

Passo 7

Isolamos y' multiplicando ambos os lados por y:
y' = y\left(\frac{3}{4x} + \frac{x}{x^{2}+1} - \frac{15}{3x+2}\right).
Agora substituímos y pela expressão original para obter a resposta em termos de x.

Passo 8

Substituindo y=\dfrac{x^{3/4}\sqrt{x^{2}+1}}{(3x+2)^{5}} obtemos a derivada final:
y' = \frac{x^{3/4}\sqrt{x^{2}+1}}{(3x+2)^{5}}\left(\frac{3}{4x}+\frac{x}{x^{2}+1}-\frac{15}{3x+2}\right).
Esse é um formato muito usado em prova: a derivada escrita como a função original vezes um somatório de frações simples obtidas pela diferenciação do logaritmo.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{x^{3/4}\sqrt{x^{2}+1}}{(3x+2)^{5}}\left(\frac{3}{4x}+\frac{x}{x^{2}+1}-\frac{15}{3x+2}\right)

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