Questão 5: Dada a função
, calcule
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular
, ou seja, a derivada de
em relação a
.
Informações relevantes fornecidas:
O que é pedido:
- Encontrar
em termos de .
Passo 2
Vamos escolher um método para derivar: aqui é muito conveniente usar a diferenciação logarítmica. Vou explicar por que e como funciona antes de aplicar.
Ideia da diferenciação logarítmica:
- Quando uma função é produto de fatores que são potências ou funções compostas, tomar o logaritmo natural transforma produto em soma de termos mais simples.
- Depois diferenciamos ambos os lados; pela regra da cadeia,
. Assim obtemos como soma de termos simples, e então isolamos multiplicando por .
Observação importante sobre domínio (motivo da técnica): para aplicar
precisamos de
. No nosso caso, para valores reais,
exige
(para obter valor real) e os demais fatores são positivos para
, então a técnica é válida em
. Em prova, lembre-se de checar domínio sempre que aplicar logaritmo.
Passo 3
Reescrevendo a função explicitamente como produto de potências para facilitar o uso do logaritmo:
Agora aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados.
Passo 4
Tomando
em ambos os lados e usando a propriedade
:
Explicação das propriedades usadas:
-
porque . - Produtos se transformam em soma de logaritmos, o que simplifica a diferenciação.
Passo 5
Diferenciamos ambos os lados em relação a
. À esquerda aplicamos a regra da cadeia para
:
À direita diferenciamos termo a termo. Vou lembrar as regras usadas:
-
(regra da cadeia). - Derivada de
é . - Para
usamos e . - Para
usamos e .
Aplicando isso, obtemos:
Passo 6
Simplificamos cada termo da soma:
-
. -
. -
.
Portanto:
Passo 7
Isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Agora substituímos
pela expressão original para obter a resposta em termos de
.
Passo 8
Substituindo
obtemos a derivada final:
Esse é um formato muito usado em prova: a derivada escrita como a função original vezes um somatório de frações simples obtidas pela diferenciação do logaritmo.