Questão 2 - Dada a lei de Ampère/Maxwell na forma integral, obtenha a forma diferencial. Faça também a passagem reversa, ou seja, da forma diferencial para a forma integral.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) partir da lei de Ampère/Maxwell na forma integral e obter a forma diferencial; (2) fazer o caminho inverso, ou seja, partir da forma diferencial e recuperar a forma integral.
As informações relevantes (a forma integral padrão que vamos usar) são:
\oint_{\partial S} \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \mu_{0}\int_{S}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S} + \mu_{0}\varepsilon_{0}\,\frac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}.
Aqui \partial S é a curva limite da superfície S, \mathbf{B} é o campo magnético, \mathbf{E} o campo elétrico, \mathbf{J} a densidade de corrente (corrente livre por unidade de área), \mu_{0} e \varepsilon_{0} são constantes físicas. O objetivo é transformar essa igualdade integral em uma igualdade entre campos em cada ponto (a forma diferencial) e depois voltar da igualdade ponto-a-ponto para a igualdade integral.

Passo 2

Explicando o que cada termo significa e as hipóteses simples que vamos usar:
  • \oint_{\partial S}\mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} é a circulação de \mathbf{B} ao longo da curva \partial S. O vetor elemento de linha é d\boldsymbol{\ell}.
  • \int_{S}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S} é a corrente total que atravessa S; d\mathbf{S}=\mathbf{\hat n}\,dS é o elemento de área orientado com a normal \mathbf{\hat n}.
  • \frac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S} é a taxa de variação temporal do fluxo elétrico por S. Vou assumir que S é uma superfície fixa no espaço (não móvel), para poder trocar derivada temporal com integral sem termos extra (se S fosse móvel, aparece termo convectivo).
  • Pressupomos campos suficientemente suaves (deriváveis) para usar teoremas do cálculo vetorial.

Passo 3

Ferramenta chave: o Teorema de Stokes. Ele afirma que, para um campo vetorial \mathbf{F} suave,
\oint_{\partial S} \mathbf{F}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \int_{S} (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}.
Interpretação física e geométrica: a circulação de \mathbf{F} ao redor da fronteira \partial S é igual ao fluxo através de S do rotacional de \mathbf{F}. Vamos aplicar isso com \mathbf{F}=\mathbf{B}.

Passo 4

Aplicando Stokes ao lado esquerdo da lei integral (com \mathbf{F}=\mathbf{B}):
\oint_{\partial S} \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \int_{S} (\nabla\times\mathbf{B})\cdot d\mathbf{S}.
Portanto a lei integral escrita no Passo 1 fica
\int_{S} (\nabla\times\mathbf{B})\cdot d\mathbf{S} = \mu_{0}\int_{S}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S} + \mu_{0}\varepsilon_{0}\,\frac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}.

Passo 5

Tratar o termo temporal. Como S é fixa, podemos trocar derivada temporal e integral:
\frac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S} = \int_{S}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}.
Substituindo isso na igualdade do Passo 4 obtemos
\int_{S} (\nabla\times\mathbf{B})\cdot d\mathbf{S} = \mu_{0}\int_{S}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S} + \mu_{0}\varepsilon_{0}\int_{S}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}.

Passo 6

Colocar tudo em um único integral sobre S:
\int_{S}\Big[(\nabla\times\mathbf{B}) - \mu_{0}\mathbf{J} - \mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\Big]\cdot d\mathbf{S} = 0.
Agora vem um argumento padrão: essa igualdade vale para toda superfície arbitrária S (com fronteira qualquer), portanto o integrando vetorial deve ser nulo ponto a ponto (se um campo vetorial com componente normal não nula existisse em algum ponto, ao escolher uma superfície pequena ao redor desse ponto obtemos integral não nula). Assim obtemos a forma diferencial local:
\nabla\times\mathbf{B} = \mu_{0}\mathbf{J} + \mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}.
Este é o resultado procurado. Vou explicar o porquê do argumento: a arbitrariedade de S permite escolher superfícies que localizam regiões arbitrariamente pequenas; pela linearidade do integral, só se o integrando for zero em todo ponto a integral for zero para toda superfície.

Passo 7

Breve aula sobre o significado matemático e físico da forma diferencial:
  • \nabla\times\mathbf{B} (o rotacional de \mathbf{B}) mede a densidade de circulação de \mathbf{B} por unidade de área — pense numa pequena espiral ao redor de um ponto.
  • \mu_{0}\mathbf{J} é a contribuição das correntes livres: correntes geram rotação do campo magnético.
  • \mu_{0}\varepsilon_{0}\dfrac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} é a correção de Maxwell chamada corrente de deslocamento; ela diz que um campo elétrico variável no tempo também cria rotação de \mathbf{B}. Esse termo foi crucial para a consistência das equações de Maxwell e para prever ondas eletromagnéticas.
  • Em unidades SI, as constantes \mu_{0} e \varepsilon_{0} juntam-se para dar a velocidade da luz via c = 1/\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}.

Passo 8

Agora vamos fazer o caminho inverso: partir da forma diferencial e recuperar a integral. Começamos assumindo que
\nabla\times\mathbf{B} = \mu_{0}\mathbf{J} + \mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}
vale em todos os pontos. Integramos ambos os lados sobre uma superfície arbitrária S:
\int_{S} (\nabla\times\mathbf{B})\cdot d\mathbf{S} = \mu_{0}\int_{S}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S} + \mu_{0}\varepsilon_{0}\int_{S}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}.

Passo 9

Aplicamos o Teorema de Stokes ao primeiro termo à esquerda (agora invertendo o passo anterior):
\int_{S} (\nabla\times\mathbf{B})\cdot d\mathbf{S} = \oint_{\partial S}\mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell}.
Substituindo, obtemos exatamente a forma integral:
\oint_{\partial S} \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \mu_{0}\int_{S}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S} + \mu_{0}\varepsilon_{0}\,\int_{S}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}.
Se S for fixa no espaço podemos escrever o último termo como derivada temporal do fluxo:
\int_{S}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S} = \frac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S},
recuperando a forma integral original:
\oint_{\partial S} \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \mu_{0}\int_{S}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S} + \mu_{0}\varepsilon_{0}\,\frac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}.

Passo 10

Observações finais e dicas práticas para prova:
  • O passo-chave para ir de integral para diferencial é aplicar Stokes e depois usar o fato de que a superfície é arbitrária para igualar integrandos ponto a ponto. Explique esse argumento na prova: “como a igualdade vale para toda superfície arbitrária, os integrandos coincidem em cada ponto”.
  • Para ir do diferencial para o integral, basta integrar sobre S e aplicar Stokes (e, se necessário, justificar a troca derivada/integração quando S for fixa).
  • Se a superfície for móvel, há um termo a mais (velocidade da superfície fazendo o fluxo variar) — normalmente provas pedem a superfície fixa, então mencione esse detalhe se achar apropriado.
  • Mantenha atenção à orientação: a normal de S e a orientação de \partial S devem obedecer à regra da mão direita (orientação consistente) para aplicar Stokes corretamente.

Resposta

\displaystyle \nabla\times\mathbf{B} = \mu_{0}\mathbf{J} + \mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}
\displaystyle \oint_{\partial S} \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \mu_{0}\int_{S}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S} + \mu_{0}\varepsilon_{0}\,\frac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}

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