Questão 2 - Dada a lei de Ampère/Maxwell na forma integral, obtenha a forma diferencial. Faça também a passagem reversa, ou seja, da forma diferencial para a forma integral.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) partir da lei de Ampère/Maxwell na forma integral e obter a forma diferencial; (2) fazer o caminho inverso, ou seja, partir da forma diferencial e recuperar a forma integral.
As informações relevantes (a forma integral padrão que vamos usar) são:
As informações relevantes (a forma integral padrão que vamos usar) são:
Aqui
é a curva limite da superfície
,
é o campo magnético,
o campo elétrico,
a densidade de corrente (corrente livre por unidade de área),
e
são constantes físicas. O objetivo é transformar essa igualdade integral em uma igualdade entre campos em cada ponto (a forma diferencial) e depois voltar da igualdade ponto-a-ponto para a igualdade integral.
Passo 2
Explicando o que cada termo significa e as hipóteses simples que vamos usar:
-
é a circulação de ao longo da curva . O vetor elemento de linha é . -
é a corrente total que atravessa ; é o elemento de área orientado com a normal . -
é a taxa de variação temporal do fluxo elétrico por . Vou assumir que é uma superfície fixa no espaço (não móvel), para poder trocar derivada temporal com integral sem termos extra (se fosse móvel, aparece termo convectivo). - Pressupomos campos suficientemente suaves (deriváveis) para usar teoremas do cálculo vetorial.
Passo 3
Ferramenta chave: o Teorema de Stokes. Ele afirma que, para um campo vetorial
suave,
Interpretação física e geométrica: a circulação de
ao redor da fronteira
é igual ao fluxo através de
do rotacional de
. Vamos aplicar isso com
.
Passo 4
Aplicando Stokes ao lado esquerdo da lei integral (com
):
Portanto a lei integral escrita no Passo 1 fica
Passo 5
Tratar o termo temporal. Como
é fixa, podemos trocar derivada temporal e integral:
Substituindo isso na igualdade do Passo 4 obtemos
Passo 6
Colocar tudo em um único integral sobre
:
Agora vem um argumento padrão: essa igualdade vale para toda superfície arbitrária
(com fronteira qualquer), portanto o integrando vetorial deve ser nulo ponto a ponto (se um campo vetorial com componente normal não nula existisse em algum ponto, ao escolher uma superfície pequena ao redor desse ponto obtemos integral não nula). Assim obtemos a forma diferencial local:
Este é o resultado procurado. Vou explicar o porquê do argumento: a arbitrariedade de
permite escolher superfícies que localizam regiões arbitrariamente pequenas; pela linearidade do integral, só se o integrando for zero em todo ponto a integral for zero para toda superfície.
Passo 7
Breve aula sobre o significado matemático e físico da forma diferencial:
-
(o rotacional de ) mede a densidade de circulação de por unidade de área — pense numa pequena espiral ao redor de um ponto. -
é a contribuição das correntes livres: correntes geram rotação do campo magnético. -
é a correção de Maxwell chamada corrente de deslocamento; ela diz que um campo elétrico variável no tempo também cria rotação de . Esse termo foi crucial para a consistência das equações de Maxwell e para prever ondas eletromagnéticas. - Em unidades SI, as constantes
e juntam-se para dar a velocidade da luz via .
Passo 8
Agora vamos fazer o caminho inverso: partir da forma diferencial e recuperar a integral. Começamos assumindo que
vale em todos os pontos. Integramos ambos os lados sobre uma superfície arbitrária
:
Passo 9
Aplicamos o Teorema de Stokes ao primeiro termo à esquerda (agora invertendo o passo anterior):
Substituindo, obtemos exatamente a forma integral:
Se
for fixa no espaço podemos escrever o último termo como derivada temporal do fluxo:
recuperando a forma integral original:
Passo 10
Observações finais e dicas práticas para prova:
- O passo-chave para ir de integral para diferencial é aplicar Stokes e depois usar o fato de que a superfície é arbitrária para igualar integrandos ponto a ponto. Explique esse argumento na prova: “como a igualdade vale para toda superfície arbitrária, os integrandos coincidem em cada ponto”.
- Para ir do diferencial para o integral, basta integrar sobre
e aplicar Stokes (e, se necessário, justificar a troca derivada/integração quando for fixa). - Se a superfície for móvel, há um termo a mais (velocidade da superfície fazendo o fluxo variar) — normalmente provas pedem a superfície fixa, então mencione esse detalhe se achar apropriado.
- Mantenha atenção à orientação: a normal de
e a orientação de devem obedecer à regra da mão direita (orientação consistente) para aplicar Stokes corretamente.