Determine a solução das equações diferenciais abaixo. Contudo, resolva a equação não homogênea com método diferente do utilizado na questão 1.
(3,0\) ptos \() y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=f(t) ; y(0)=0, y^{\prime}(0)=0\), em que \(f(t)= \begin{cases}1 & , 0 \leq t<10 \\\\ 0 & , t \geq 10\end{cases}
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação diferencial com condições iniciais e forçamento por uma função por partes. Aqui estão os dados do problema organizados claramente:
Equação diferencial: 3y''(t)+3y'(t)+2y(t)=f(t).
Condições iniciais: y(0)=0,\qquad y'(0)=0.
Forçamento por partes (função dada no enunciado): f(t)=\begin{cases} 1,& 0\le t<10,\\[4pt] 0,& t\ge 10. \end{cases}
O que se pede: encontrar a solução y(t) válida para todo t\ge0. A solução deverá ser apresentada explicitamente (de preferência em forma peça a peça, porque f é peça a peça).]
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever f(t) usando funções degrau (Heaviside), que facilita o uso de transformadas de Laplace. A função degrau unitária a partir de a é \,u(t-a)\, e vale 0 para t<a e 1 para t\ge a.
Como f(t)=1 em [0,10) e 0 em [10,\infty), posso representar
f(t)=u(t)-u(t-10).
Essa representação é válida porque u(t)=1 para t\ge0, então subtrair u(t-10) “corta” o valor a partir de t=10.
Passo 3
Vou usar a transformada de Laplace. Uma breve revisão prática (sem pressa):
A transformada de Laplace de uma função y(t) é \displaystyle \mathcal{L}\{y\}(s)=Y(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}y(t)\,dt.
Regras para derivadas, importantes aqui:\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),\qquad \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0).
A transformada da função degrau deslocada: se g(t)=u(t-a)h(t-a) então\mathcal{L}\{u(t-a)h(t-a)\}=e^{-as}H(s),onde H(s)=\mathcal{L}\{h(t)\}.
A transformada de 1 (constante) é \displaystyle \mathcal{L}\{1\}=1/s.
Como as condições iniciais são zeros (y(0)=0,\\ y'(0)=0), as fórmulas ficam bem simples.
Passo 4
Aplicando a transformada de Laplace à equação. Primeiro \mathcal{L}\{f\}(s). Usando \,f(t)=u(t)-u(t-10)\, e \mathcal{L}\{u(t)\}=1/s, obtemos
É conveniente interpretar isso como a diferença entre a resposta ao degrau unitário permanente (primeiro termo) e a mesma resposta retardada a partir de t=10 (segundo termo). Vou inverter a transformada do primeiro termo e depois usar propriedade de deslocamento temporal para tratar o segundo termo.
Passo 5
Calcular a transformada inversa do núcleo racional
G(s)=\frac{1}{s(3s^{2}+3s+2)}.
Faremos frações parciais. Procuramos constantes A,B,C\) tais que
\[\frac{1}{s(3s^{2}+3s+2)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{3s^{2}+3s+2}.
Multiplicando ambos os lados por s(3s^{2}+3s+2) obtemos
Essa y_{1}(t) é a solução da EDO para o forçamento f(t)=1 válido para todo t\ge0 (com condições iniciais zero).
Passo 8
Agora usamos a propriedade de deslocamento no tempo (shifting): o segundo termo da transformada, [-\dfrac{e{-10s}}{s(3s{2}+3s+2)}), corresponde em tempo a -u(t-10)\,y_{1}(t-10). Ou seja, a resposta ao pulso que é desligado em t=10 é exatamente a resposta permanente y_{1} iniciada em t=10 e subtraída a partir desse instante.
Assim a solução da equação original (com f que vale 1 até 10 e 0 depois) é a função peça a peça: