Determine a solução das equações diferenciais abaixo. Contudo, resolva a equação não homogênea com método diferente do utilizado na questão 1.
ptos
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condição inicial. As informações dadas são:
Pergunta: determinar a solução
que satisfaz essa equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Vamos resolver a equação diferencial linear de primeira ordem usando o método do fator integrante. Vou explicar o que é isso e por que funciona. Uma equação linear de primeira ordem tem a forma
onde
e
são funções conhecidas. O fator integrante
é uma função tal que, ao multiplicarmos a equação por
, o lado esquerdo se torna a derivada de um produto:
. Esse
é dado por
No nosso caso temos
e
. Portanto
Multiplicando a equação original por
obtemos
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
:
Passo 3
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Precisamos então calcular a integral
Vou calcular
de forma detalhada (sem pular passos), usando integração por partes duas vezes, pois isso nos dá a fórmula necessária.
Passo 4
Calculemos
por partes. Tome
Então
e
. Aplicando integração por partes:
Simplificando,
Chame
. Vamos calcular
por partes também: escolha
então
e
. Assim
Ou seja,
Voltemos à expressão de
:
Desenvolvendo:
Passando
para o lado esquerdo:
Logo
Passo 5
Voltando à expressão para
:
Simplificando o fator
:
Multiplicando por
para isolar
:
Passo 6
Agora aplicamos a condição inicial
. Substituindo
em
:
Queremos
, então
Substituindo
na solução geral:
Podemos organizar como uma única fração: