Determine a solução das equações diferenciais abaixo. Contudo, resolva a equação não homogênea com método diferente do utilizado na questão 1.
(2,0 ptos ) y^{\prime}-y=2 \cos (5 t) ; y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condição inicial. As informações dadas são:
y' - y = 2\cos(5t),\qquad y(0)=0.
Pergunta: determinar a solução y(t) que satisfaz essa equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Vamos resolver a equação diferencial linear de primeira ordem usando o método do fator integrante. Vou explicar o que é isso e por que funciona. Uma equação linear de primeira ordem tem a forma
y' + p(t)y = q(t),
onde p(t) e q(t) são funções conhecidas. O fator integrante \mu(t) é uma função tal que, ao multiplicarmos a equação por \mu(t), o lado esquerdo se torna a derivada de um produto: \dfrac{d}{dt}\big(\mu(t)y(t)\big). Esse \mu(t) é dado por
\mu(t)=\exp\left(\int p(t)\,dt\right).
No nosso caso temos p(t)=-1 e q(t)=2\cos(5t). Portanto
\mu(t)=\exp\left(\int -1\,dt\right)=e^{-t}.
Multiplicando a equação original por e^{-t} obtemos
e^{-t}y' - e^{-t}y = 2e^{-t}\cos(5t).
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^{-t}y:
\frac{d}{dt}\big(e^{-t}y\big)=2e^{-t}\cos(5t).

Passo 3

Agora integramos ambos os lados em relação a t:
e^{-t}y(t)=2\int e^{-t}\cos(5t)\,dt + C,
onde C é a constante de integração. Precisamos então calcular a integral
I=\int e^{-t}\cos(5t)\,dt.
Vou calcular I de forma detalhada (sem pular passos), usando integração por partes duas vezes, pois isso nos dá a fórmula necessária.

Passo 4

Calculemos I=\int e^{-t}\cos(5t)\,dt por partes. Tome
u=\cos(5t),\qquad dv=e^{-t}dt.
Então du=-5\sin(5t)\,dt e v=-e^{-t}. Aplicando integração por partes:
I = uv - \int v\,du = -e^{-t}\cos(5t) - \int (-e^{-t})(-5\sin(5t))\,dt.
Simplificando,
I = -e^{-t}\cos(5t) -5\int e^{-t}\sin(5t)\,dt.
Chame K=\int e^{-t}\sin(5t)\,dt. Vamos calcular K por partes também: escolha
u=\sin(5t),\qquad dv=e^{-t}dt,
então du=5\cos(5t)\,dt e v=-e^{-t}. Assim
K = -e^{-t}\sin(5t) - \int (-e^{-t})5\cos(5t)\,dt = -e^{-t}\sin(5t) +5\int e^{-t}\cos(5t)\,dt.
Ou seja,
K = -e^{-t}\sin(5t) +5I.
Voltemos à expressão de I:
I = -e^{-t}\cos(5t) -5K = -e^{-t}\cos(5t) -5\big(-e^{-t}\sin(5t) +5I\big).
Desenvolvendo:
I = -e^{-t}\cos(5t) +5e^{-t}\sin(5t) -25I.
Passando -25I para o lado esquerdo:
26I = e^{-t}\big(-\cos(5t)+5\sin(5t)\big).
Logo
I = \frac{e^{-t}\big(-\cos(5t)+5\sin(5t)\big)}{26}.

Passo 5

Voltando à expressão para e^{-t}y:
e^{-t}y = 2I + C = 2\cdot\frac{e^{-t}\big(-\cos(5t)+5\sin(5t)\big)}{26} + C.
Simplificando o fator 2/26=1/13:
e^{-t}y = \frac{e^{-t}\big(-\cos(5t)+5\sin(5t)\big)}{13} + C.
Multiplicando por e^{t} para isolar y:
y(t) = \frac{-\cos(5t)+5\sin(5t)}{13} + Ce^{t}.

Passo 6

Agora aplicamos a condição inicial y(0)=0. Substituindo t=0 em y(t):
y(0) = \frac{-\cos(0)+5\sin(0)}{13} + C e^{0} = \frac{-1+0}{13}+C = -\frac{1}{13}+C.
Queremos y(0)=0, então
-\frac{1}{13}+C = 0 \quad\Rightarrow\quad C=\frac{1}{13}.
Substituindo C na solução geral:
y(t) = \frac{-\cos(5t)+5\sin(5t)}{13} + \frac{1}{13}e^{t}.
Podemos organizar como uma única fração:
y(t)=\frac{e^{t}-\cos(5t)+5\sin(5t)}{13}.

Resposta

y(t)=\frac{e^{t}-\cos(5t)+5\sin(5t)}{13}

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