Questão 3 - Dada a lei de Faraday na forma integral, obtenha a forma diferencial. Faça também a passagem reversa, ou seja, da forma diferencial para a forma integral.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) partir da lei de Faraday na forma integral e obter a forma diferencial; (2) partir da forma diferencial e recuperar a forma integral.
As informações que temos e as hipóteses que vou usar (deixe-me ser explícito para não te deixar perdido):
  • A lei de Faraday na forma integral é dada por
\oint_{\partial S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell} = -\frac{d}{dt}\int_{S} \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}.
  • Vou trabalhar com um circuito fixo (a superfície S é fixa no espaço) e campos suaves o suficiente para podermos trocar derivada temporal com integral espacial quando necessário.
  • A orientação do contorno \partial S e a normal de S seguem a regra da mão direita (orientação consistente: sentido positivo do contorno corresponde à normal por convenção).
    Nada mais é pedido além de fazer as duas passagens (integral → diferencial e diferencial → integral).

Passo 2

Primeiro vamos transformar o lado esquerdo da forma integral. Existe um resultado de cálculo vetorial que liga a integral de linha de um campo vetorial ao fluxo do rotacional desse campo pela superfície limitada por essa linha. Escrevo essa identidade (sem provar aqui) porque ela é o nosso instrumento de trabalho: para um campo vetorial \mathbf{F} e uma superfície S com fronteira \partial S, vale
\oint_{\partial S} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{\ell} = \int_{S} (\nabla\times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}.
Aplicando essa identidade ao campo \mathbf{E} obtemos, para o lado esquerdo da lei de Faraday,
\oint_{\partial S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell} = \int_{S} (\nabla\times \mathbf{E})\cdot d\mathbf{S}.
Explicando de leve: \nabla\times\mathbf{E} (o rotacional de \mathbf{E}) mede a circulação do campo por unidade de área; a igualdade acima transforma uma integral de contorno numa integral de superfície.

Passo 3

Agora tratamos o lado direito da forma integral: -\dfrac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}. Como a superfície S é fixa no espaço, podemos trocar a ordem da derivada temporal com a integral espacial (isso exige que \mathbf{B} seja suficientemente suave). Assim:
-\frac{d}{dt}\int_{S} \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S} = -\int_{S} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}.
Observação rápida: escrevi \partial\mathbf{B}/\partial t porque \mathbf{B}=\mathbf{B}(\mathbf{r},t) depende de posição e tempo; como a superfície é fixa, a derivada temporal dentro da integral é a derivada parcial em tempo do campo no ponto.

Passo 4

Agora juntamos o que obtivemos nos passos anteriores, substituindo na lei integral original:
\int_{S} (\nabla\times \mathbf{E})\cdot d\mathbf{S} = -\int_{S} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}.
Ou seja, a integral sobre S de (\nabla\times \mathbf{E}) + \dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} é zero:
\int_{S} \left[ (\nabla\times \mathbf{E}) + \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \right]\cdot d\mathbf{S} = \mathbf{0}.
Aqui vem um argumento padrão e importantíssimo: essa igualdade vale para qualquer superfície S escolhida arbitrariamente (desde que as hipóteses de suavidade se mantenham). Se a integral sobre qualquer superfície arbitrária de um campo vetorial \mathbf{V}(\mathbf{r},t) é sempre zero, então o próprio campo deve ser nulo em cada ponto. Aplicando isso ao campo \mathbf{V}=(\nabla\times\mathbf{E}) + \partial\mathbf{B}/\partial t dá a igualdade pontual (local):

Passo 5

Deduzo a forma diferencial da lei de Faraday: para todo ponto do espaço e instantes de tempo (supondo as hipóteses citadas), vale
\boxed{\nabla\times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.}
Interpretação física curta e útil: um campo magnético que muda no tempo gera um rotacional (uma circulação local) do campo elétrico — por isso, campos elétricos induzidos por variação magnética não são conservativos.

Passo 6

Agora faço a passagem inversa: partindo da forma diferencial e obtendo a forma integral. Começo escrevendo a forma diferencial e integro ambos os lados sobre uma superfície arbitrária S:
\int_{S} (\nabla\times \mathbf{E})\cdot d\mathbf{S} = -\int_{S} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}.
Pela identidade que usamos antes (a versão integral do rotacional), o lado esquerdo é a integral de linha de \mathbf{E} ao longo da fronteira \partial S:
\oint_{\partial S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell} = -\int_{S} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}.
Como a superfície é fixa, podemos trocar derivada e integral no lado direito para recuperar exatamente a forma integral usual:
\oint_{\partial S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell} = -\frac{d}{dt}\int_{S} \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}.
Pronto — chegamos de volta à forma integral de Faraday.

Passo 7

Alguns esclarecimentos práticos e dicas para a prova (o que os examinadores costumam esperar):
  • Sempre mencione a aplicação da identidade entre integral de linha e integral de superfície (a forma integral do teorema de Stokes). Escreva-a explicitamente.
  • Explique a troca da derivada temporal com a integral (justifique que a superfície é fixa e que \mathbf{B} é suficientemente suave). Se o problema envolver um circuito móvel, diga que aparece um termo adicional (a chamada força eletromotriz de movimento) — mas aqui assumimos circuito fixo.
  • Ao transformar integrais em igualdades pontuais, justifique que a superfície é arbitrária, então as integrais coincidentes implicam igualdade dos integrandos ponto a ponto.
  • Cuidado com a orientação: a regra da mão direita vincula a direção positiva do contorno à direção da normal da superfície; mantenha consistência para sinais corretos.

Resposta

\n
\nabla\times \mathbf{E} = -\dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.\n
\displaystyle \oint_{\partial S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell} = -\dfrac{d}{dt}\int_{S} \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}.

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