Questão 3 - Dada a lei de Faraday na forma integral, obtenha a forma diferencial. Faça também a passagem reversa, ou seja, da forma diferencial para a forma integral.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) partir da lei de Faraday na forma integral e obter a forma diferencial; (2) partir da forma diferencial e recuperar a forma integral.
As informações que temos e as hipóteses que vou usar (deixe-me ser explícito para não te deixar perdido):
As informações que temos e as hipóteses que vou usar (deixe-me ser explícito para não te deixar perdido):
- A lei de Faraday na forma integral é dada por
- Vou trabalhar com um circuito fixo (a superfície
é fixa no espaço) e campos suaves o suficiente para podermos trocar derivada temporal com integral espacial quando necessário. - A orientação do contorno
e a normal de seguem a regra da mão direita (orientação consistente: sentido positivo do contorno corresponde à normal por convenção).
Nada mais é pedido além de fazer as duas passagens (integral → diferencial e diferencial → integral).
Passo 2
Primeiro vamos transformar o lado esquerdo da forma integral. Existe um resultado de cálculo vetorial que liga a integral de linha de um campo vetorial ao fluxo do rotacional desse campo pela superfície limitada por essa linha. Escrevo essa identidade (sem provar aqui) porque ela é o nosso instrumento de trabalho: para um campo vetorial
e uma superfície
com fronteira
, vale
Aplicando essa identidade ao campo
obtemos, para o lado esquerdo da lei de Faraday,
Explicando de leve:
(o rotacional de
) mede a circulação do campo por unidade de área; a igualdade acima transforma uma integral de contorno numa integral de superfície.
Passo 3
Agora tratamos o lado direito da forma integral:
. Como a superfície
é fixa no espaço, podemos trocar a ordem da derivada temporal com a integral espacial (isso exige que
seja suficientemente suave). Assim:
Observação rápida: escrevi
porque
depende de posição e tempo; como a superfície é fixa, a derivada temporal dentro da integral é a derivada parcial em tempo do campo no ponto.
Passo 4
Agora juntamos o que obtivemos nos passos anteriores, substituindo na lei integral original:
Ou seja, a integral sobre
de
é zero:
Aqui vem um argumento padrão e importantíssimo: essa igualdade vale para qualquer superfície
escolhida arbitrariamente (desde que as hipóteses de suavidade se mantenham). Se a integral sobre qualquer superfície arbitrária de um campo vetorial
é sempre zero, então o próprio campo deve ser nulo em cada ponto. Aplicando isso ao campo
dá a igualdade pontual (local):
Passo 5
Deduzo a forma diferencial da lei de Faraday: para todo ponto do espaço e instantes de tempo (supondo as hipóteses citadas), vale
Interpretação física curta e útil: um campo magnético que muda no tempo gera um rotacional (uma circulação local) do campo elétrico — por isso, campos elétricos induzidos por variação magnética não são conservativos.
Passo 6
Agora faço a passagem inversa: partindo da forma diferencial e obtendo a forma integral. Começo escrevendo a forma diferencial e integro ambos os lados sobre uma superfície arbitrária
:
Pela identidade que usamos antes (a versão integral do rotacional), o lado esquerdo é a integral de linha de
ao longo da fronteira
:
Como a superfície é fixa, podemos trocar derivada e integral no lado direito para recuperar exatamente a forma integral usual:
Pronto — chegamos de volta à forma integral de Faraday.
Passo 7
Alguns esclarecimentos práticos e dicas para a prova (o que os examinadores costumam esperar):
- Sempre mencione a aplicação da identidade entre integral de linha e integral de superfície (a forma integral do teorema de Stokes). Escreva-a explicitamente.
- Explique a troca da derivada temporal com a integral (justifique que a superfície é fixa e que
é suficientemente suave). Se o problema envolver um circuito móvel, diga que aparece um termo adicional (a chamada força eletromotriz de movimento) — mas aqui assumimos circuito fixo. - Ao transformar integrais em igualdades pontuais, justifique que a superfície é arbitrária, então as integrais coincidentes implicam igualdade dos integrandos ponto a ponto.
- Cuidado com a orientação: a regra da mão direita vincula a direção positiva do contorno à direção da normal da superfície; mantenha consistência para sinais corretos.
Resposta
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