Você faz uma bola girar na extremidade de um fio leve descrevendo uma trajetótia circular botizontal com velocidade constante. O fio pode chegar a estar efetivamente no plano horizontal? Em caso negativo, o fio se inclina acima ou abaixo do plano horizontal? Por quê?
Passo 1
O enunciado diz: você faz uma bola girar presa na extremidade de um fio leve descrevendo uma trajetória circular no plano horizontal com velocidade constante. Pergunta: o fio pode ficar exatamente no plano horizontal? Se não, o fio se inclina para cima ou para baixo em relação a esse plano? Por quê?
Informações relevantes dadas: (1) movimento circular horizontal de velocidade constante; (2) fio leve (logo só transmite tensão); (3) existe o peso da bola atuando verticalmente para baixo; (4) não foi dada massa nem comprimento numérico — a resposta deve ser geral.
Informações relevantes dadas: (1) movimento circular horizontal de velocidade constante; (2) fio leve (logo só transmite tensão); (3) existe o peso da bola
Passo 2
Vamos começar desenhando mentalmente o diagrama de forças sobre a bola. As únicas forças atuando são: (a) o peso,
, para baixo; (b) a tensão no fio,
, ao longo do fio, direcionada do corpo em direção ao ponto de suspensão. Como a bola descreve uma circunferência horizontal com velocidade constante, sua aceleração é centrípeta e aponta horizontalmente para o centro da trajetória. Portanto a componente horizontal da tensão deve fornecer a força centrípeta. A componente vertical da tensão deve equilibrar o peso, pois a altura da bola é constante (não há aceleração vertical).
Passo 3
Definimos um ângulo para organizar as componentes: seja
o ângulo entre o fio e a direção vertical (ou seja,
quando o fio está vertical;
quando o fio estaria horizontal). Agora decompondo a tensão
em componentes: a componente vertical é
(para cima) e a componente horizontal, dirigida para o centro do círculo, é
. Expliquei a trigonometria: num triângulo retângulo, o cosseno dá a razão entre o cateto adjacente (vertical) e a hipotenusa (tensão), logo
é a componente vertical; o seno dá a razão entre o cateto oposto (horizontal) e a hipotenusa, logo
é a componente horizontal.
Passo 4
Como a altura é constante (o movimento é circular e horizontal), não há aceleração vertical. Logo a soma das forças verticais deve ser zero:
Portanto
Dessa igualdade segue que
deve ser positivo (porque
e
), então
está entre
e
. Em particular
, ou seja, o fio não pode ser horizontal (
implicaria
e então
, absurdo).
Passo 5
A componente horizontal da tensão fornece a força centrípeta. Se
é o raio da circunferência descrita pela bola, a condição de movimento circular é
onde
é a velocidade tangencial. Dividindo essa equação pela equação vertical
obtemos uma relação simples:
Como o lado direito é positivo,
e portanto
. Essa relação mostra também como o ângulo depende da velocidade e do raio: quanto maior
, maior
(isto é, o fio aproxima‑se mais da horizontal, mas nunca chega a ser horizontal).
Passo 6
Interpretação física e conclusão: o fio não pode estar no plano horizontal porque, nesse caso, a tensão não teria componente vertical para contrabalançar o peso
e a bola caíria. Para que o peso seja equilibrado, o fio precisa ter uma componente de tensão vertical para cima, o que significa que o fio está inclinado de modo que a bola fique abaixo do nível do ponto de suspensão — isto é, o fio está inclinado abaixo do plano horizontal (forma um ângulo menor que
com a vertical). Num tom amigo: a gravidade “puxa” sempre para baixo, então o fio tem que apontar para baixo o suficiente para sustentar a bola enquanto a componente horizontal faz o trabalho de virar a bola em círculo.
Resposta
Não — o fio não pode ser horizontal.
O fio se inclina abaixo do plano horizontal (a bola fica abaixo do ponto de suspensão), porque é preciso uma componente vertical da tensão que equilibre o peso
; se o fio fosse horizontal essa componente seria zero.
O fio se inclina abaixo do plano horizontal (a bola fica abaixo do ponto de suspensão), porque é preciso uma componente vertical da tensão