Você faz uma bola girar na extremidade de um fio leve descrevendo uma trajetótia circular botizontal com velocidade constante. O fio pode chegar a estar efetivamente no plano horizontal? Em caso negativo, o fio se inclina acima ou abaixo do plano horizontal? Por quê?

Passo 1

O enunciado diz: você faz uma bola girar presa na extremidade de um fio leve descrevendo uma trajetória circular no plano horizontal com velocidade constante. Pergunta: o fio pode ficar exatamente no plano horizontal? Se não, o fio se inclina para cima ou para baixo em relação a esse plano? Por quê?
Informações relevantes dadas: (1) movimento circular horizontal de velocidade constante; (2) fio leve (logo só transmite tensão); (3) existe o peso da bola mg atuando verticalmente para baixo; (4) não foi dada massa nem comprimento numérico — a resposta deve ser geral.

Passo 2

Vamos começar desenhando mentalmente o diagrama de forças sobre a bola. As únicas forças atuando são: (a) o peso, mg, para baixo; (b) a tensão no fio, T, ao longo do fio, direcionada do corpo em direção ao ponto de suspensão. Como a bola descreve uma circunferência horizontal com velocidade constante, sua aceleração é centrípeta e aponta horizontalmente para o centro da trajetória. Portanto a componente horizontal da tensão deve fornecer a força centrípeta. A componente vertical da tensão deve equilibrar o peso, pois a altura da bola é constante (não há aceleração vertical).

Passo 3

Definimos um ângulo para organizar as componentes: seja \theta o ângulo entre o fio e a direção vertical (ou seja, \theta=0 quando o fio está vertical; \theta=90^\circ quando o fio estaria horizontal). Agora decompondo a tensão T em componentes: a componente vertical é T\cos\theta (para cima) e a componente horizontal, dirigida para o centro do círculo, é T\sin\theta. Expliquei a trigonometria: num triângulo retângulo, o cosseno dá a razão entre o cateto adjacente (vertical) e a hipotenusa (tensão), logo T\cos\theta é a componente vertical; o seno dá a razão entre o cateto oposto (horizontal) e a hipotenusa, logo T\sin\theta é a componente horizontal.

Passo 4

Como a altura é constante (o movimento é circular e horizontal), não há aceleração vertical. Logo a soma das forças verticais deve ser zero:
T\cos\theta - mg = 0.
Portanto
T\cos\theta = mg.
Dessa igualdade segue que \cos\theta deve ser positivo (porque T>0 e mg>0), então \theta está entre 0 e 90^\circ. Em particular \theta\neq 90^\circ, ou seja, o fio não pode ser horizontal ( \theta=90^\circ implicaria \cos\theta=0 e então 0=mg, absurdo).

Passo 5

A componente horizontal da tensão fornece a força centrípeta. Se r é o raio da circunferência descrita pela bola, a condição de movimento circular é
T\sin\theta = m\frac{v^2}{r},
onde v é a velocidade tangencial. Dividindo essa equação pela equação vertical T\cos\theta=mg obtemos uma relação simples:
\tan\theta = \frac{v^2}{r g}.
Como o lado direito é positivo, \tan\theta>0 e portanto 0<\theta<90^\circ. Essa relação mostra também como o ângulo depende da velocidade e do raio: quanto maior v, maior \theta (isto é, o fio aproxima‑se mais da horizontal, mas nunca chega a ser horizontal).

Passo 6

Interpretação física e conclusão: o fio não pode estar no plano horizontal porque, nesse caso, a tensão não teria componente vertical para contrabalançar o peso mg e a bola caíria. Para que o peso seja equilibrado, o fio precisa ter uma componente de tensão vertical para cima, o que significa que o fio está inclinado de modo que a bola fique abaixo do nível do ponto de suspensão — isto é, o fio está inclinado abaixo do plano horizontal (forma um ângulo menor que 90^\circ com a vertical). Num tom amigo: a gravidade “puxa” sempre para baixo, então o fio tem que apontar para baixo o suficiente para sustentar a bola enquanto a componente horizontal faz o trabalho de virar a bola em círculo.

Resposta

Não — o fio não pode ser horizontal.
O fio se inclina abaixo do plano horizontal (a bola fica abaixo do ponto de suspensão), porque é preciso uma componente vertical da tensão T\cos\theta que equilibre o peso mg; se o fio fosse horizontal essa componente seria zero.

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