4.3 ( 2,5 pontos) Uma superfície cúbica com nenhuma carga e arestas de 2 m de comprimento é orientada com faces da direita e esquerda perpendicular a um campo elétrico uniforme igual a 1,6 \times 10^{5} \mathrm{~N} / \mathrm{C} na direção + & 0. O fluxo do campo elétrico total é:
( ) 6,4 \times 10^{4} \mathrm{Nm}^{2} / \mathrm{C}
( ) 13 \times 10^{4} \times \mathrm{m}^{3} / \mathrm{C}
( ) 25 \times 10^{4} \mathrm{Nm}^{2} / \mathrm{C}
( ) 36 \times 10^{8} \times \mathrm{m}^{9} \mathrm{r}
( ) zero

Passo 1

O enunciado pede o fluxo elétrico total através da superfície fechada de um cubo com aresta de 2\\ \text{m}. As informações dadas são:
  • Campo elétrico uniforme com intensidade \displaystyle E = 1{,}6\times 10^{5}\\ \text{N/C} apontando na direção +\hat{x} (da esquerda para a direita na figura).
  • Cubo de aresta \displaystyle 2\\ \text{m}.
  • Não há carga no interior do cubo.
    A pergunta concreta: qual é o fluxo total do campo elétrico através da superfície fechada do cubo?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática): o fluxo elétrico através de uma superfície é a integral do produto escalar entre o campo e o vetor de área:
\Phi = \int \vec{E}\cdot d\vec{A}.
  • Aqui \vec{E} é o campo elétrico (vetor), d\vec{A} é o vetor área infinitesimal da superfície (módulo igual a uma área infinitesimal e direção dada pela normal à superfície, orientada para fora se for superfície fechada).
  • Para uma face plana com campo uniforme e área A a fórmula simplifica para
\Phi_{\text{face}} = \vec{E}\cdot\vec{A} = E\,A\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{E} e a normal externa \vec{A}. Isso significa: se o campo entra na face (oposto à normal) o fluxo é negativo; se sai (mesma direção da normal) o fluxo é positivo; se é paralelo à face ( \theta=90^\circ) o fluxo é zero.

Passo 3

Calcular a área de cada face (passo simples, mostro direitinho):
A = \text{aresta}\times\text{aresta} = 2\\ \text{m}\times 2\\ \text{m} = 4\\ \text{m}^2.

Passo 4

Fluxo através da face direita (normal apontando para +\hat{x}, mesma direção de \vec{E}):
\theta = 0^\circ \quad\Rightarrow\quad \Phi_{\text{direita}} = E A \cos 0^\circ = E A.
Substituindo os valores:
\Phi_{\text{direita}} = \left(1{,}6\times 10^{5}\right)\left(4\right)=6{,}4\times 10^{5}\\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}.

Passo 5

Fluxo através da face esquerda (normal apontando para -\hat{x}, direção oposta a \vec{E}):
\theta = 180^\circ \quad\Rightarrow\quad \Phi_{\text{esquerda}} = E A \cos 180^\circ = -E A = -6{,}4\times 10^{5}\\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}.

Passo 6

Fluxo através das outras quatro faces (superior, inferior, frontal e traseira): as normais dessas faces são perpendiculares ao eixo x, portanto o ângulo com \vec{E} é 90^\circ e
\Phi_{\text{cada\;uma\;dessas}} = E A \cos 90^\circ = 0.

Passo 7

Somando os fluxos de todas as seis faces:
\Phi_{\text{total}}=\Phi_{\text{direita}}+\Phi_{\text{esquerda}}+4\cdot 0 =6{,}4\times 10^{5}+(-6{,}4\times 10^{5})+0=0.
Observação conceitual alternativa (rápida e útil na prova): pela Lei de Gauss o fluxo total através de uma superfície fechada é \displaystyle \Phi_{\text{total}}=\dfrac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}. Como não há carga interna, Q_{\text{int}}=0, então \Phi_{\text{total}}=0. As duas abordagens batem.

Resposta

0

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