Questão 2. Dada a matriz B=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & -3 \\\\ 1 & 0 & -2 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right).
(a) (2.0 pontos) Diga se B é definida positiva. Apresente sua resposta de forma detalhada!
(b) ( 2.0 pontos) Se B for definida positiva, exiba os fatores de Cholesky.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
B=\begin{pmatrix}2 & 1 & -3\\[4pt] 1 & 0 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix},
e pede:
(a) dizer se B é definida positiva (com detalhes);
(b) caso seja definida positiva, exibir os fatores de Cholesky.
Vou listar claramente o que é pedido: verificar a definição positiva de B (isto é, se \,x^{T}Bx>0 para todo x\in\mathbb{R}^{3}\setminus\{0\}\,) e, se for o caso, apresentar a fatoração de Cholesky.]

Passo 2

O que significa “definida positiva” e que testes usar (aula rápida):
  • Definição: uma matriz real M é definida positiva se, para todo vetor não nulo x\in\mathbb{R}^n, vale \,x^{T}Mx>0.
  • Observação importante: para qualquer matriz real B vale
x^{T}Bx = x^{T}\!\left(\frac{B+B^{T}}{2}\right)x,
ou seja, apenas a parte simétrica S=\dfrac{B+B^{T}}{2} determina o valor do formulário quadrático. Portanto a positividade de x^{T}Bx para todo x\neq0 é equivalente à positividade da matriz simétrica S.
  • Para testar se uma matriz simétrica S é definida positiva podemos usar o critério de Sylvester: todos os menores principais principais (partes superiores esquerdas) devem ser positivos. Em particular, os menores principais líderes: d_1>0, d_2>0, …, onde d_k=\det(S_{k\times k}).
Também vale lembrar: a fatoração de Cholesky S=R^{T}R (ou S=LL^{T}) existe exatamente quando S é simétrica definida positiva. Se B não for definida positiva, não existe Cholesky real para B.

Passo 3

Verificar simetria de B e calcular a parte simétrica S.
Primeiro, B não é simétrica porque, por exemplo, (B)_{13}=-3 e (B)_{31}=0, ou seja (B)_{13}\neq(B)_{31}.
Agora calculemos a parte simétrica
S=\frac{B+B^{T}}{2}.
Escrevendo B^{T} e somando:
B^{T}=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0\\[4pt] -3 & -2 & 1\end{pmatrix}, \qquad B+B^{T}=\begin{pmatrix}4 & 2 & -3\\[4pt] 2 & 0 & -2\\[4pt] -3 & -2 & 2\end{pmatrix}.
Portanto
S=\frac{B+B^{T}}{2}=\begin{pmatrix}2 & 1 & -\tfrac{3}{2}\\[4pt] 1 & 0 & -1\\[4pt] -\tfrac{3}{2} & -1 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Aplicar o critério de Sylvester em S: calcular os menores principais líderes.
Menor de ordem 1:
d_1=\det\bigl([2]\bigr)=2>0.
Menor de ordem 2 (principal líder 2×2, as duas primeiras linhas e colunas):
d_2=\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}=2\cdot 0 - 1\cdot 1 = -1.
Aqui já vemos d_2=-1<0. Pelo critério de Sylvester, para S ser definida positiva todos os d_k deveriam ser positivos; como d_2 é negativo, S NÃO é definida positiva.
Concluímos, portanto, que a parte simétrica que determina x^{T}Bx não é positiva definida, logo B também não é definida positiva (no sentido do formulário quadrático).]

Passo 5

Dar uma demonstração direta e concreta produzindo um vetor x com x^{T}Bx\le 0 (isso ajuda na prova e é bom para a prova na faculdade).
Escolha x=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-2\\[2pt]0\end{pmatrix}. Calculemos passo a passo:
B x=\begin{pmatrix}2 & 1 & -3\\[4pt] 1 & 0 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[2pt]-2\\[2pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\cdot1 + 1\cdot(-2) + (-3)\cdot0\\[4pt] 1\cdot1 + 0\cdot(-2) + (-2)\cdot0\\[4pt] 0\cdot1 + 0\cdot(-2) + 1\cdot0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Agora
x^{T}Bx = x^{T}(Bx)=\begin{pmatrix}1 & -2 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}=1\cdot 0 + (-2)\cdot 1 + 0\cdot 0 = -2.
Como x^{T}Bx=-2<0, isso prova de forma direta que B não é definida positiva.]

Passo 6

Conclusão sobre a existência de Cholesky e explicação didática:
  • A fatoração de Cholesky (por exemplo S=LL^{T} com L triangular inferior e diagonais positivas) existe somente para matrizes simétricas definidas positivas.
  • Aqui B não é simétrica e a sua parte simétrica S não é definida positiva, portanto não existe fator de Cholesky real para B. Em outras palavras, a pergunta (b) só faria sentido se B fosse definida positiva; como não é, não há fatores de Cholesky reais para mostrar.

Resposta

(a) B não é definida positiva.
(b) Não existe fatorização de Cholesky real para B, pois B não é definida positiva.

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