Determine a área total da região limitada pela curva y=f(x) e pelo eixo x nos intervalos especificados.
f(x)=\sqrt[3]{x}-x,-1 \less x \less 8

Passo 1

O enunciado dá a função f e o intervalo onde queremos a área:
  • f(x)=\sqrt[3]{x}-x.
  • Intervalo: -1<x<8.
O que é pedido:
  • Determinar a área total da região limitada pela curva y=f(x) e pelo eixo x no intervalo dado (ou seja, a área entre a curva e o eixo x para -1<x<8).
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A função é dada explicitamente por f(x)=\sqrt[3]{x}-x.
  • O intervalo de integração é de -1 até 8.
  • Para calcular área entre curva e eixo x é preciso considerar onde f muda de sinal e somar as áreas positivas (usar o valor absoluto de f).

Passo 2

Estratégia (explicação didática do que vamos fazer):
  • A área total pedida é \displaystyle \int_{-1}^{8} |f(x)|\,dx. Em provas, é comum achar os pontos onde f(x)=0, dividir o intervalo nesses pontos e calcular integrais simples sem valor absoluto em cada subintervalo, trocando sinal quando f for negativa.
  • Primeiro vamos achar as raízes de f(x)=0, ou seja resolver
\sqrt[3]{x}-x=0.
Resolver \sqrt[3]{x}-x=0: faça a substituição natural \;t=\sqrt[3]{x}. Então x=t^3 e a equação vira
t - t^3 = 0.
Fatorando,
t(1-t^2)=0 \quad\Rightarrow\quad t=0,\; t=\pm 1.
Voltando para x com x=t^3, obtemos as raízes
x=0^3=0,\quad x=1^3=1,\quad x=(-1)^3=-1.
Ou seja, f(x)=0 em x=-1,0,1. Esses são os pontos que dividem o intervalo [-1,8].

Passo 3

Análise de sinais (como saber se f é positiva ou negativa em cada subintervalo):
  • Entre as raízes, avalia-se f em um ponto teste de cada subintervalo.
  • Para -1<x<0, escolha x=-\tfrac12. Calculando mentalmente \sqrt[3]{-1/2}\approx-0{,}7937. Então f(-\tfrac12)\approx -0{,}7937 - (-0{,}5)=-0{,}2937<0. Logo f<0 em (-1,0).
  • Para 0<x<1, escolha x=\tfrac12. \sqrt[3]{1/2}\approx0{,}7937. Então f(\tfrac12)\approx0{,}7937-0{,}5=0{,}2937>0. Logo f>0 em (0,1).
  • Para 1<x<8, escolha x=2. \sqrt[3]{2}\approx1{,}26. Então f(2)\approx1{,}26-2=-0{,}74<0. Logo f<0 em (1,8).
Resumo do sinal:
  • f(x)<0 em (-1,0).
  • f(x)>0 em (0,1).
  • f(x)<0 em (1,8).

Passo 4

Montar a expressão da área usando integrais sem valor absoluto:
  • A área total é a soma das áreas positivas (módulo das integrais), então
\text{Área}=\int_{-1}^{0} |f(x)|\,dx+\int_{0}^{1} |f(x)|\,dx+\int_{1}^{8} |f(x)|\,dx.Á
Como já sabemos o sinal de f em cada parte, podemos eliminar o valor absoluto trocando o sinal quando f<0:
\text{Área}=-\int_{-1}^{0} f(x)\,dx+\int_{0}^{1} f(x)\,dx-\int_{1}^{8} f(x)\,dx.Á

Passo 5

Calcular primitiva de f (aula rápida sobre integração de potências fracionárias):
  • A regra de potência: para \alpha\neq -1,
\int x^{\alpha}\,dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C.
  • Aqui f(x)=x^{1/3}-x. Aplicando a regra:
\int x^{1/3}\,dx=\frac{x^{1/3+1}}{1/3+1}=\frac{x^{4/3}}{4/3}=\frac{3}{4}x^{4/3},
\int x\,dx=\frac{x^2}{2}.
Portanto uma primitiva de f é
F(x)=\frac{3}{4}x^{4/3}-\frac{x^2}{2}.
Comentário sobre sinais e potências: para x<0, x^{1/3} é bem definido (raiz cúbica de número negativo é negativo) e x^{4/3}=(x^{1/3})^4 é positivo, então podemos usar essa primitiva em todos os intervalos sem problema.

Passo 6

Calcular cada integral definida usando F:
  1. \displaystyle \int_{-1}^{0} f(x)\,dx = F(0)-F(-1).
  • F(0)=\frac{3}{4}\cdot 0^{4/3}-\frac{0^2}{2}=0.
  • Para x=-1: (-1)^{4/3}=(( -1)^{1/3})^4=(-1)^4=1. Então
F(-1)=\frac{3}{4}\cdot 1 - \frac{(-1)^2}{2}=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.
Logo
\int_{-1}^{0} f(x)\,dx = 0 - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}.
Área no primeiro pedaço (módulo) é - desse valor, ou seja \frac{1}{4}.
  1. \displaystyle \int_{0}^{1} f(x)\,dx = F(1)-F(0).
  • Já temos F(0)=0.
  • F(1)=\frac{3}{4}\cdot 1^{4/3}-\frac{1^2}{2}=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.
    Logo
\int_{0}^{1} f(x)\,dx = \frac{1}{4}.
Área no segundo pedaço é \frac{1}{4}.
  1. \displaystyle \int_{1}^{8} f(x)\,dx = F(8)-F(1).
  • Calcule F(8): 8^{1/3}=2, então 8^{4/3}=2^4=16. Assim
F(8)=\frac{3}{4}\cdot 16 - \frac{8^2}{2} = 12 - \frac{64}{2}=12-32=-20.
  • Já temos F(1)=\frac{1}{4}.
    Portanto
\int_{1}^{8} f(x)\,dx = -20 - \frac{1}{4} = -\frac{81}{4}.
Área no terceiro pedaço (módulo) é - desse valor, ou seja \frac{81}{4}.

Passo 7

Somar as contribuições das três partes:
  • Primeira parte: \dfrac{1}{4}.
  • Segunda parte: \dfrac{1}{4}.
  • Terceira parte: \dfrac{81}{4}.
Somando:
\text{Área total}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{81}{4}=\frac{83}{4}.Á

Resposta

\dfrac{83}{4}

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