Determine a área total da região limitada pela curva
e pelo eixo
nos intervalos especificados.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o intervalo onde queremos a área:
-
. - Intervalo:
.
O que é pedido:
- Determinar a área total da região limitada pela curva
e pelo eixo no intervalo dado (ou seja, a área entre a curva e o eixo para ).
Informações relevantes que temos do enunciado:
- A função é dada explicitamente por
. - O intervalo de integração é de
até . - Para calcular área entre curva e eixo
é preciso considerar onde muda de sinal e somar as áreas positivas (usar o valor absoluto de ).
Passo 2
Estratégia (explicação didática do que vamos fazer):
- A área total pedida é
. Em provas, é comum achar os pontos onde , dividir o intervalo nesses pontos e calcular integrais simples sem valor absoluto em cada subintervalo, trocando sinal quando for negativa. - Primeiro vamos achar as raízes de
, ou seja resolver
Resolver
: faça a substituição natural
. Então
e a equação vira
Fatorando,
Voltando para
com
, obtemos as raízes
Ou seja,
em
. Esses são os pontos que dividem o intervalo
.
Passo 3
Análise de sinais (como saber se
é positiva ou negativa em cada subintervalo):
- Entre as raízes, avalia-se
em um ponto teste de cada subintervalo. - Para
, escolha . Calculando mentalmente . Então . Logo em . - Para
, escolha . . Então . Logo em . - Para
, escolha . . Então . Logo em .
Resumo do sinal:
-
em . -
em . -
em .
Passo 4
Montar a expressão da área usando integrais sem valor absoluto:
- A área total é a soma das áreas positivas (módulo das integrais), então
Como já sabemos o sinal de
em cada parte, podemos eliminar o valor absoluto trocando o sinal quando
:
Passo 5
Calcular primitiva de
(aula rápida sobre integração de potências fracionárias):
- A regra de potência: para
,
- Aqui
. Aplicando a regra:
Portanto uma primitiva de
é
Comentário sobre sinais e potências: para
,
é bem definido (raiz cúbica de número negativo é negativo) e
é positivo, então podemos usar essa primitiva em todos os intervalos sem problema.
Passo 6
Calcular cada integral definida usando
:
-
- Para
: . Então
Logo
Área no primeiro pedaço (módulo) é
desse valor, ou seja
.
- Já temos
. -
Logo
Área no segundo pedaço é
.
- Calcule
: , então . Assim
- Já temos
.
Portanto
Área no terceiro pedaço (módulo) é
desse valor, ou seja
.
Passo 7
Somar as contribuições das três partes:
- Primeira parte:
. - Segunda parte:
. - Terceira parte:
.
Somando: