Determine a área total da região limitada pela curva y=f(x) e pelo eixo x nos intervalos especificados.
f(x)=x^{3}-4 x,-2 \less x \less 2

Passo 1

O enunciado pede: determinar a área total da região limitada pela curva y=f(x) e pelo eixo x no intervalo -2 < x < 2.
Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=x^{3}-4x.
  • O intervalo considerado é -2 < x < 2.
  • A tarefa é encontrar a área total entre o gráfico de f e o eixo x nesse intervalo (ou seja, somar as áreas das partes onde f está acima do eixo e onde está abaixo, sempre tomando valores positivos).

Passo 2

Primeiro precisamos saber onde a curva intersecta o eixo x (esses pontos vão dividir o intervalo em subintervalos onde f tem sinal constante). Resolvem-se as raízes de f:
f(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{3}-4x=0.
Colocando em fator:
x^{3}-4x = x(x^{2}-4)=x(x-2)(x+2).
Portanto as raízes são x=-2, x=0 e x=2.

Passo 3

Os zeros dividem o intervalo -2<x<2 em dois subintervalos relevantes: (-2,0) e (0,2). Precisamos saber o sinal de f em cada um para saber se a contribuição da integral é positiva ou negativa.
Teste em (-2,0): escolha x=-1.
f(-1)=(-1)^{3}-4(-1)=-1+4=3>0,
logo f(x)>0 em (-2,0).
Teste em (0,2): escolha x=1.
f(1)=1^{3}-4\cdot1=1-4=-3<0,
logo f(x)<0 em (0,2).
Interpretação: na parte (-2,0) a curva está acima do eixo x (área dada por \int_{-2}^{0} f(x)\,dx positiva), e em (0,2) está abaixo (a área é -\int_{0}^{2} f(x)\,dx positiva).

Passo 4

A área total A é a integral da função valor absoluto |f(x)| no intervalo. Como já identificamos os subintervalos com sinal constante, escrevemos:
A=\int_{-2}^{0} f(x)\,dx + \int_{0}^{2} -f(x)\,dx.
(Equivalente dizer A=\int_{-2}^{0} f(x)\,dx - \int_{0}^{2} f(x)\,dx, pois \int_{0}^{2} f(x)\,dx será negativo.)

Passo 5

Calcular a primitiva de f. Para f(x)=x^{3}-4x,
\int f(x)\,dx=\int (x^{3}-4x)\,dx=\frac{x^{4}}{4}-2x^{2}+C.
Agora avaliamos as integrais:
  1. Integral de -2 a 0:
\int_{-2}^{0} f(x)\,dx =\left[\frac{x^{4}}{4}-2x^{2}\right]_{-2}^{0} = \left(\frac{0^{4}}{4}-2\cdot0^{2}\right)-\left(\frac{(-2)^{4}}{4}-2(-2)^{2}\right).
Calcule o segundo termo:
\frac{(-2)^{4}}{4}-2(-2)^{2}=\frac{16}{4}-2\cdot4=4-8=-4.
Logo
\int_{-2}^{0} f(x)\,dx = 0-(-4)=4.
  1. Integral de 0 a 2:
\int_{0}^{2} f(x)\,dx =\left[\frac{x^{4}}{4}-2x^{2}\right]_{0}^{2} = \left(\frac{2^{4}}{4}-2\cdot2^{2}\right)-0.
Calcule:
\frac{2^{4}}{4}-2\cdot2^{2}=\frac{16}{4}-2\cdot4=4-8=-4.
Portanto
\int_{0}^{2} f(x)\,dx = -4.
Como essa integral é negativa, a contribuição positiva da área nesse trecho é -\int_{0}^{2} f(x)\,dx = -(-4)=4.
Somando as duas áreas:
A = 4 + 4 = 8.

Passo 6

Observação didática (atalho útil para a prova): f é uma função ímpar ( f(-x)=-f(x)), então a área acima do eixo em (-2,0) é igual à área abaixo do eixo em (0,2). Assim basta calcular uma das áreas (por exemplo \int_{0}^{2} |f(x)|dx=4) e multiplicar por 2. Isso leva também a A=8.

Resposta

8

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