Determine a área total da região limitada pela curva
e pelo eixo
nos intervalos especificados.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a área total da região limitada pela curva
e pelo eixo
no intervalo
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função é
. - O intervalo considerado é
. - A tarefa é encontrar a área total entre o gráfico de
e o eixo nesse intervalo (ou seja, somar as áreas das partes onde está acima do eixo e onde está abaixo, sempre tomando valores positivos).
Passo 2
Primeiro precisamos saber onde a curva intersecta o eixo
(esses pontos vão dividir o intervalo em subintervalos onde
tem sinal constante). Resolvem-se as raízes de
:
Colocando em fator:
Portanto as raízes são
,
e
.
Passo 3
Os zeros dividem o intervalo
em dois subintervalos relevantes:
e
. Precisamos saber o sinal de
em cada um para saber se a contribuição da integral é positiva ou negativa.
Teste em
: escolha
.
logo
em
.
Teste em
: escolha
.
logo
em
.
Interpretação: na parte
a curva está acima do eixo
(área dada por
positiva), e em
está abaixo (a área é
positiva).
Passo 4
A área total
é a integral da função valor absoluto
no intervalo. Como já identificamos os subintervalos com sinal constante, escrevemos:
(Equivalente dizer
, pois
será negativo.)
Passo 5
Calcular a primitiva de
. Para
,
Agora avaliamos as integrais:
- Integral de
a :
Calcule o segundo termo:
Logo
- Integral de
a :
Calcule:
Portanto
Como essa integral é negativa, a contribuição positiva da área nesse trecho é
.
Somando as duas áreas:
Passo 6
Observação didática (atalho útil para a prova):
é uma função ímpar (
), então a área acima do eixo em
é igual à área abaixo do eixo em
. Assim basta calcular uma das áreas (por exemplo
) e multiplicar por
. Isso leva também a
.