23^ a Questão

Dado A=integral0^pi(cos x-sen x) d x e B=integral0^1 x(2 x^2-1)^9 d x, a afirmativa correta é:
(a) A>B
(b) A=-B2
(c) A^2-A B=B^2+2
(d) (A+B)^3=1
(e) A=B-2

Passo 1

O enunciado pede para comparar as integrais
A = integral0^pi l(cos x - sin xr),dx
e
B = integral0^1 xl(2x^2-1r)^9,dx
e determinar qual das alternativas (a) a (e) é verdadeira. O conteúdo envolve integração direta e mudança de variável.

Passo 2

Calculamos A integrando termo a termo:
integral (cos x),dx = sin x, integral (-sin x),dx = cos x
Logo,
A = l[sin x + cos xr]0^pi = l(sinpi + cospir) - l(sin0 + cos0r) = (0 - 1) - (0 + 1) = -2

Passo 3

Para B, usamos a substituição ;u = 2x^2-1, de modo que du = 4x,dx e x,dx = tfrac14du. Quando x=0, u=-1; quando x=1, u=1. Assim,
B = integral0^1 xl(2x^2-1r)^9,dx = 14 integralu=-1^u=1 u^9,du
Como u^9 é função ímpar, integral-1^1u^9,du=0. Portanto B=0.

Passo 4

Com A=-2 e B=0, conferimos as alternativas:
(a) -2>0? não;
(b) -2 = -0/2? não;
(c) A^2-AB = 4-0 =4 versus B^2+2 =2? não;
(d) (A+B)^3=(-2)^3=-8neq1;
(e) A = B - 2 -2 = 0 - 2, verdade.

Resposta

(e) A = B - 2.

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